ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul12d GIF version

Theorem mul12d 8111
Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
addcomd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mul12d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul12d (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem mul12d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 addcomd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mul12d.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 mul12 8088 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1238 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811   ยท cmul 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-mulcom 7914  ax-mulass 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880
This theorem is referenced by:  mulreim  8563  divrecap  8647  remullem  10882  cvgratnnlemnexp  11534  cvgratnnlemmn  11535  tanval3ap  11724  sinadd  11746  dvdscmulr  11829  bezoutlemnewy  11999  dvdsmulgcd  12028  lcmgcdlem  12079  cncongr1  12105  prmdiv  12237  tangtx  14344  lgseisenlem2  14536  2sqlem4  14550
  Copyright terms: Public domain W3C validator