binom4 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binom4 15299

Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 11666, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
binom4	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

**Proof of Theorem binom4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9068	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	oveq2i 5936	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑4) = ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1))
3		addcl 8021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		3nn0 9284	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
5		expp1 10655	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
7	2, 6	eqtrid 2241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
8		binom3 10766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
9	8	oveq1d 5940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)))
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		expcl 10666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
13		3cn 9082	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	10	sqcld 10780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
18	13, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 18	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
20	15	sqcld 10780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
21	10, 20	mulcld 8064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
22		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
23	13, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
24		expcl 10666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
25	15, 4, 24	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
26	23, 25	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
27	19, 26	addcld 8063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
28	27, 10, 15	adddid 8068	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)))
29	1	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
30		expp1 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
31	10, 4, 30	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
32	29, 31	eqtr2id 2242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐴) = (𝐴↑4))
33	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
34	33, 16, 10	mulassd 8067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)))
35	14, 15, 10	mul32d 8196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵))
36		df-3 9067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
37	36	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
38		2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
39		expp1 10655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
40	10, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
41	37, 40	eqtr2id 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴↑3))
42	41	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
43	35, 42	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
44	43	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
45	34, 44	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
46	32, 45	oveq12d 5943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
47	12, 10, 18, 46	joinlmuladdmuld 8071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
48	33, 21, 10	mulassd 8067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)))
49	10, 20, 10	mul32d 8196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
50	10	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
51	50	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
52	49, 51	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
53	52	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
54	48, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
55	25, 10	mulcomd 8065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
56	54, 55	oveq12d 5943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
57	23, 10, 25, 56	joinlmuladdmuld 8071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
58	47, 57	oveq12d 5943	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
59	19, 10, 26, 58	joinlmuladdmuld 8071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
60	19, 26, 15	adddird 8069	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)))
61	33, 16, 15	mulassd 8067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)))
62	14, 15, 15	mulassd 8067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
63	15	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
64	63	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
65	62, 64	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
66	65	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
67	61, 66	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
68	67	oveq2d 5941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
69	12, 15, 18, 68	joinlmuladdmuld 8071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
70	33, 21, 15	mulassd 8067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)))
71	10, 20, 15	mulassd 8067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)))
72	36	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
73		expp1 10655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
74	15, 38, 73	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
75	72, 74	eqtr2id 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3))
76	75	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
77	71, 76	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
78	77	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
79	70, 78	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
80	1	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑4) = (𝐵↑(3 + 1))
81		expp1 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
82	15, 4, 81	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
83	80, 82	eqtr2id 2242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐵) = (𝐵↑4))
84	79, 83	oveq12d 5943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
85	23, 15, 25, 84	joinlmuladdmuld 8071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
86	69, 85	oveq12d 5943	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
87	12, 15	mulcld 8064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ)
88	14, 20	mulcld 8064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
89		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
90	13, 88, 89	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
91	10, 25	mulcld 8064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
92		mulcl 8023	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
93	13, 91, 92	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
94		4nn0 9285	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
95		expcl 10666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
96	15, 94, 95	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
97	93, 96	addcld 8063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) ∈ ℂ)
98	87, 90, 97	addassd 8066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
99	60, 86, 98	3eqtrd 2233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
100	59, 99	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
101		expcl 10666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
102	10, 94, 101	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
103		mulcl 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
104	13, 87, 103	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
105	102, 104	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) ∈ ℂ)
106	90, 91	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
107	90, 97	addcld 8063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) ∈ ℂ)
108	105, 106, 87, 107	add4d 8212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
109	102, 104, 87	addassd 8066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
110	1	oveq1i 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵))
111		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
113	33, 112, 87	adddird 8069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
114	110, 113	eqtrid 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
115	87	mulid2d 8062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
116	115	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
117	114, 116	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
118	117	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
119	109, 118	eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
120	90, 91, 90, 97	add4d 8212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
121		3p3e6 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
122	121	oveq1i 5935	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
123	33, 33, 88	adddird 8069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
124	122, 123	eqtr3id 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
125		3p1e4 9143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
126	13, 111, 125	addcomli 8188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 3) = 4
127	126	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (4 · (𝐴 · (𝐵↑3)))
128	112, 33, 91	adddird 8069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
129	127, 128	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
130	91	mulid2d 8062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
131	130	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
132	129, 131	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
133	132	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)))
134	91, 93, 96	addassd 8066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
135	133, 134	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
136	124, 135	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
137	120, 136	eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
138	119, 137	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
139	108, 138	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
140	28, 100, 139	3eqtrd 2233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
141	7, 9, 140	3eqtrd 2233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 (class class class)co 5925 ℂcc 7894 1c1 7897 + caddc 7899 · cmul 7901 2c2 9058 3c3 9059 4c4 9060 6c6 9062 ℕ₀cn0 9266 ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-5 9069 df-6 9070 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-seqfrec 10557 df-exp 10648

This theorem is referenced by: (None)

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