binom4 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binom4 15709

Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 12050, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
binom4	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

**Proof of Theorem binom4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 9204	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	oveq2i 6029	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑4) = ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1))
3		addcl 8157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		3nn0 9420	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
5		expp1 10809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(3 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
7	2, 6	eqtrid 2276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)))
8		binom3 10920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
9	8	oveq1d 6033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑3) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)))
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		expcl 10820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
12	10, 4, 11	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
13		3cn 9218	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	10	sqcld 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
17		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
18	13, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
19	12, 18	addcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
20	15	sqcld 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
21	10, 20	mulcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
22		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
23	13, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
24		expcl 10820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
25	15, 4, 24	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
26	23, 25	addcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
27	19, 26	addcld 8199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
28	27, 10, 15	adddid 8204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)))
29	1	oveq2i 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑4) = (𝐴↑(3 + 1))
30		expp1 10809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
31	10, 4, 30	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(3 + 1)) = ((𝐴↑3) · 𝐴))
32	29, 31	eqtr2id 2277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐴) = (𝐴↑4))
33	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
34	33, 16, 10	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)))
35	14, 15, 10	mul32d 8332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵))
36		df-3 9203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
37	36	oveq2i 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
38		2nn0 9419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
39		expp1 10809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
40	10, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
41	37, 40	eqtr2id 2277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴↑3))
42	41	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
43	35, 42	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
44	43	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
45	34, 44	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)))
46	32, 45	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐴) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐴)) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
47	12, 10, 18, 46	joinlmuladdmuld 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
48	33, 21, 10	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)))
49	10, 20, 10	mul32d 8332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
50	10	sqvald 10933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
51	50	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐴) · (𝐵↑2)))
52	49, 51	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
53	52	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐴)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
54	48, 53	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
55	25, 10	mulcomd 8201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
56	54, 55	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐴) + ((𝐵↑3) · 𝐴)) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
57	23, 10, 25, 56	joinlmuladdmuld 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))))
58	47, 57	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐴) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐴)) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
59	19, 10, 26, 58	joinlmuladdmuld 8207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) = (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))))
60	19, 26, 15	adddird 8205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)))
61	33, 16, 15	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)))
62	14, 15, 15	mulassd 8203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
63	15	sqvald 10933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
64	63	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) · (𝐵 · 𝐵)))
65	62, 64	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
66	65	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐵) · 𝐵)) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
67	61, 66	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵) = (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))))
68	67	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) · 𝐵)) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
69	12, 15, 18, 68	joinlmuladdmuld 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
70	33, 21, 15	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)))
71	10, 20, 15	mulassd 8203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)))
72	36	oveq2i 6029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
73		expp1 10809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
74	15, 38, 73	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
75	72, 74	eqtr2id 2277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3))
76	75	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
77	71, 76	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
78	77	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴 · (𝐵↑2)) · 𝐵)) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
79	70, 78	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))))
80	1	oveq2i 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑4) = (𝐵↑(3 + 1))
81		expp1 10809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
82	15, 4, 81	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(3 + 1)) = ((𝐵↑3) · 𝐵))
83	80, 82	eqtr2id 2277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑3) · 𝐵) = (𝐵↑4))
84	79, 83	oveq12d 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) · 𝐵) + ((𝐵↑3) · 𝐵)) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
85	23, 15, 25, 84	joinlmuladdmuld 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))
86	69, 85	oveq12d 6036	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) · 𝐵) + (((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
87	12, 15	mulcld 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ)
88	14, 20	mulcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
89		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
90	13, 88, 89	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
91	10, 25	mulcld 8200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
92		mulcl 8159	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
93	13, 91, 92	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
94		4nn0 9421	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
95		expcl 10820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
96	15, 94, 95	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
97	93, 96	addcld 8199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) ∈ ℂ)
98	87, 90, 97	addassd 8202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) · 𝐵) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
99	60, 86, 98	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵) = (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
100	59, 99	oveq12d 6036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐴) + ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · 𝐵)) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
101		expcl 10820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
102	10, 94, 101	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
103		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) · 𝐵) ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
104	13, 87, 103	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) ∈ ℂ)
105	102, 104	addcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) ∈ ℂ)
106	90, 91	addcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) ∈ ℂ)
107	90, 97	addcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) ∈ ℂ)
108	105, 106, 87, 107	add4d 8348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))))
109	102, 104, 87	addassd 8202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
110	1	oveq1i 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵))
111		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
113	33, 112, 87	adddird 8205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 1) · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
114	110, 113	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
115	87	mulid2d 8198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) · 𝐵))
116	115	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
117	114, 116	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵)))
118	117	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) = ((𝐴↑4) + ((3 · ((𝐴↑3) · 𝐵)) + ((𝐴↑3) · 𝐵))))
119	109, 118	eqtr4d 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) = ((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))))
120	90, 91, 90, 97	add4d 8348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
121		3p3e6 9286	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
122	121	oveq1i 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
123	33, 33, 88	adddird 8205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 + 3) · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
124	122, 123	eqtr3id 2278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) = ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))))
125		3p1e4 9279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 1) = 4
126	13, 111, 125	addcomli 8324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 3) = 4
127	126	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (4 · (𝐴 · (𝐵↑3)))
128	112, 33, 91	adddird 8205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 3) · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
129	127, 128	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
130	91	mulid2d 8198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = (𝐴 · (𝐵↑3)))
131	130	oveq1d 6033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
132	129, 131	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))))
133	132	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)))
134	91, 93, 96	addassd 8202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑3)) + (3 · (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
135	133, 134	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)) = ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
136	124, 135	oveq12d 6036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))) = (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))) + ((𝐴 · (𝐵↑3)) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
137	120, 136	eqtr4d 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))) = ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))
138	119, 137	oveq12d 6036	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((𝐴↑3) · 𝐵)) + (((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
139	108, 138	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑4) + (3 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + (𝐴 · (𝐵↑3)))) + (((𝐴↑3) · 𝐵) + ((3 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4))))) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
140	28, 100, 139	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) · (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))
141	7, 9, 140	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑4) = (((𝐴↑4) + (4 · ((𝐴↑3) · 𝐵))) + ((6 · ((𝐴↑2) · (𝐵↑2))) + ((4 · (𝐴 · (𝐵↑3))) + (𝐵↑4)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1397 ∈ wcel 2202 (class class class)co 6018 ℂcc 8030 1c1 8033 + caddc 8035 · cmul 8037 2c2 9194 3c3 9195 4c4 9196 6c6 9198 ℕ₀cn0 9402 ↑cexp 10801

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-5 9205 df-6 9206 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-seqfrec 10711 df-exp 10802

This theorem is referenced by: (None)

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