Theorem modqmul1 10738

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqmul1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqmul1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqmul1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqmul1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqmul1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqmul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqmul1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqmul1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqmul1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 6056	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
13		qcn 9965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
14	3, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
15		modqmul1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	4	gt0ne0d 8785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
18		qdivcl 9974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
20	19	flqcld 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22	14, 16, 21	mulassd 8296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
23	14, 16, 21	mul32d 8425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
24	22, 23	eqtr3d 2267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
25	24	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26		qcn 9965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	2, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	14, 21	mulcld 8293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
29	27, 28, 16	subdird 8687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
30	25, 29	eqtr4d 2268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
31		qdivcl 9974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
32	7, 3, 17, 31	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
33	32	flqcld 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
35	14, 16, 34	mulassd 8296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
36	14, 16, 34	mul32d 8425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	35, 36	eqtr3d 2267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
38	37	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
39		qcn 9965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
40	7, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	14, 34	mulcld 8293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	40, 41, 16	subdird 8687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
43	38, 42	eqtr4d 2268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
44	30, 43	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
45	12, 44	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
46		oveq1 6056	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
47		zq 9957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
48	15, 47	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
49		qmulcl 9968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
50	2, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
51	15, 20	zmulcld 9705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
52		modqcyc2 10721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
53	50, 51, 3, 4, 52	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
54		qmulcl 9968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
55	7, 48, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
56	15, 33	zmulcld 9705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modqcyc2 10721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
58	55, 56, 3, 4, 57	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
59	53, 58	eqeq12d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
60	46, 59	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
61	45, 60	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
62	1, 61	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  0cc0 8126   · cmul 8131   < clt 8307   − cmin 8443   / cdiv 8945  ℤcz 9576  ℚcq 9950  ⌊cfl 10627   mod cmo 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629  df-mod 10684

This theorem is referenced by:  modqmul12d  10739  modqnegd  10740  modqmulmod  10750  eulerthlema  12923  fermltl  12927  odzdvds  12939  lgsdir2lem4  15896  lgsdirprm  15899  gausslemma2d  15934