ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmul1 GIF version

Theorem modqmul1 9673
Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmul1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqmul1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqmul1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modqmul1.d (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqmul1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqmul1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqmul1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqmul1
StepHypRef Expression
1 modqmul1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqmul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqmul1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqmul1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 9620 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqmul1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 9620 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2097 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5598 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
1210, 11syl6bi 161 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
13 qcn 9014 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
143, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
15 modqmul1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1615zcnd 8765 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
174gt0ne0d 7890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ≠ 0)
18 qdivcl 9023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
192, 3, 17, 18syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2019flqcld 9573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2120zcnd 8765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2214, 16, 21mulassd 7414 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2314, 16, 21mul32d 7538 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2422, 23eqtr3d 2117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2524oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26 qcn 9014 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
272, 26syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2814, 21mulcld 7411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2927, 28, 16subdird 7796 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
3025, 29eqtr4d 2118 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
31 qdivcl 9023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
327, 3, 17, 31syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3332flqcld 9573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3433zcnd 8765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3514, 16, 34mulassd 7414 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3614, 16, 34mul32d 7538 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3735, 36eqtr3d 2117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3837oveq2d 5607 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
39 qcn 9014 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
407, 39syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4114, 34mulcld 7411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
4240, 41, 16subdird 7796 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
4338, 42eqtr4d 2118 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
4430, 43eqeq12d 2097 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
4512, 44sylibrd 167 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
46 oveq1 5598 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
47 zq 9006 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
4815, 47syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
49 qmulcl 9017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
502, 48, 49syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
5115, 20zmulcld 8770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
52 modqcyc2 9656 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
5350, 51, 3, 4, 52syl22anc 1171 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
54 qmulcl 9017 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
557, 48, 54syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
5615, 33zmulcld 8770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57 modqcyc2 9656 . . . . . 6 ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5855, 56, 3, 4, 57syl22anc 1171 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5953, 58eqeq12d 2097 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6046, 59syl5ib 152 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6145, 60syld 44 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
621, 61mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253   · cmul 7258   < clt 7425  cmin 7556   / cdiv 8037  cz 8646  cq 8999  cfl 9564   mod cmo 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566  df-mod 9619
This theorem is referenced by:  modqmul12d  9674  modqnegd  9675  modqmulmod  9685
  Copyright terms: Public domain W3C validator