ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmul1 GIF version

Theorem modqmul1 10372
Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmul1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqmul1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqmul1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modqmul1.d (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqmul1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqmul1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqmul1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqmul1
StepHypRef Expression
1 modqmul1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqmul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqmul1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqmul1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 10319 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqmul1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 10319 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2192 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5879 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
1210, 11syl6bi 163 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
13 qcn 9630 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
143, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
15 modqmul1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1615zcnd 9372 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
174gt0ne0d 8465 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ≠ 0)
18 qdivcl 9639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
192, 3, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2019flqcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2120zcnd 9372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2214, 16, 21mulassd 7977 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2314, 16, 21mul32d 8106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2422, 23eqtr3d 2212 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2524oveq2d 5888 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26 qcn 9630 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
272, 26syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2814, 21mulcld 7974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2927, 28, 16subdird 8368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
3025, 29eqtr4d 2213 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
31 qdivcl 9639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
327, 3, 17, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3332flqcld 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3433zcnd 9372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3514, 16, 34mulassd 7977 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3614, 16, 34mul32d 8106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3735, 36eqtr3d 2212 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3837oveq2d 5888 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
39 qcn 9630 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
407, 39syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4114, 34mulcld 7974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
4240, 41, 16subdird 8368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
4338, 42eqtr4d 2213 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
4430, 43eqeq12d 2192 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
4512, 44sylibrd 169 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
46 oveq1 5879 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
47 zq 9622 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
4815, 47syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
49 qmulcl 9633 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
502, 48, 49syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
5115, 20zmulcld 9377 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
52 modqcyc2 10355 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
5350, 51, 3, 4, 52syl22anc 1239 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
54 qmulcl 9633 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
557, 48, 54syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
5615, 33zmulcld 9377 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57 modqcyc2 10355 . . . . . 6 ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5855, 56, 3, 4, 57syl22anc 1239 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5953, 58eqeq12d 2192 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6046, 59imbitrid 154 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6145, 60syld 45 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
621, 61mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  cc 7806  0cc0 7808   · cmul 7813   < clt 7988  cmin 8124   / cdiv 8625  cz 9249  cq 9615  cfl 10263   mod cmo 10317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-mod 10318
This theorem is referenced by:  modqmul12d  10373  modqnegd  10374  modqmulmod  10384  eulerthlema  12222  fermltl  12226  odzdvds  12237  lgsdir2lem4  14303  lgsdirprm  14306
  Copyright terms: Public domain W3C validator