Theorem modqmul1 10640

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqmul1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqmul1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
modqmul1.dgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqmul1.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
modqmul1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul1.ab	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2		modqmul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
3		modqmul1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
4		modqmul1.dgt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
5		modqval 10587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7		modqmul1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
8		modqval 10587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
9	7, 3, 4, 8	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
10	6, 9	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11		oveq1 6025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
13		qcn 9868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
14	3, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
15		modqmul1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17	4	gt0ne0d 8692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
18		qdivcl 9877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
20	19	flqcld 10538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22	14, 16, 21	mulassd 8203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
23	14, 16, 21	mul32d 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
24	22, 23	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
25	24	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26		qcn 9868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	2, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	14, 21	mulcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
29	27, 28, 16	subdird 8594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
30	25, 29	eqtr4d 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
31		qdivcl 9877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
32	7, 3, 17, 31	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
33	32	flqcld 10538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
35	14, 16, 34	mulassd 8203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
36	14, 16, 34	mul32d 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
37	35, 36	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
38	37	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
39		qcn 9868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
40	7, 39	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	14, 34	mulcld 8200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
42	40, 41, 16	subdird 8594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
43	38, 42	eqtr4d 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
44	30, 43	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
45	12, 44	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
46		oveq1 6025	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
47		zq 9860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
48	15, 47	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
49		qmulcl 9871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
50	2, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
51	15, 20	zmulcld 9608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
52		modqcyc2 10623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
53	50, 51, 3, 4, 52	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
54		qmulcl 9871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
55	7, 48, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
56	15, 33	zmulcld 9608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57		modqcyc2 10623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
58	55, 56, 3, 4, 57	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
59	53, 58	eqeq12d 2246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
60	46, 59	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
61	45, 60	syld 45	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
62	1, 61	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032   · cmul 8037   < clt 8214   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℤcz 9479  ℚcq 9853  ⌊cfl 10529   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by:  modqmul12d  10641  modqnegd  10642  modqmulmod  10652  eulerthlema  12807  fermltl  12811  odzdvds  12823  lgsdir2lem4  15766  lgsdirprm  15769  gausslemma2d  15804