ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmul1 GIF version

Theorem modqmul1 10162
Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier 𝐶 must be an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmul1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqmul1.b (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqmul1.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modqmul1.d (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
modqmul1.dgt0 (𝜑 → 0 < 𝐷)
modqmul1.ab (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
Assertion
Ref Expression
modqmul1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modqmul1
StepHypRef Expression
1 modqmul1.ab . 2 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
2 modqmul1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
3 modqmul1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
4 modqmul1.dgt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5 modqval 10109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
62, 3, 4, 5syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
7 modqmul1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
8 modqval 10109 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
97, 3, 4, 8syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 mod 𝐷) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
106, 9eqeq12d 2154 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))))
11 oveq1 5781 . . . . 5 ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = (𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
1210, 11syl6bi 162 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
13 qcn 9438 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℚ → 𝐷 ∈ ℂ)
143, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
15 modqmul1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1615zcnd 9186 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
174gt0ne0d 8286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ≠ 0)
18 qdivcl 9447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
192, 3, 17, 18syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 / 𝐷) ∈ ℚ)
2019flqcld 10062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℤ)
2120zcnd 9186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐷)) ∈ ℂ)
2214, 16, 21mulassd 7801 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))))
2314, 16, 21mul32d 7927 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2422, 23eqtr3d 2174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶))
2524oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
26 qcn 9438 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
272, 26syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2814, 21mulcld 7798 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℂ)
2927, 28, 16subdird 8189 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) · 𝐶)))
3025, 29eqtr4d 2175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶))
31 qdivcl 9447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
327, 3, 17, 31syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℚ)
3332flqcld 10062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
3433zcnd 9186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
3514, 16, 34mulassd 7801 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))
3614, 16, 34mul32d 7927 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3735, 36eqtr3d 2174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) = ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶))
3837oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
39 qcn 9438 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
407, 39syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4114, 34mulcld 7798 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℂ)
4240, 41, 16subdird 8189 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − ((𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) · 𝐶)))
4338, 42eqtr4d 2175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶))
4430, 43eqeq12d 2154 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) ↔ ((𝐴 − (𝐷 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷)))) · 𝐶) = ((𝐵 − (𝐷 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))) · 𝐶)))
4512, 44sylibrd 168 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷)))))))
46 oveq1 5781 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷))
47 zq 9430 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
4815, 47syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
49 qmulcl 9441 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
502, 48, 49syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ)
5115, 20zmulcld 9191 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ)
52 modqcyc2 10145 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
5350, 51, 3, 4, 52syl22anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷))
54 qmulcl 9441 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
557, 48, 54syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
5615, 33zmulcld 9191 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ)
57 modqcyc2 10145 . . . . . 6 ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))) ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5855, 56, 3, 4, 57syl22anc 1217 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
5953, 58eqeq12d 2154 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) mod 𝐷) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) mod 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6046, 59syl5ib 153 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐴 / 𝐷))))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐷 · (𝐶 · (⌊‘(𝐵 / 𝐷))))) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
6145, 60syld 45 . 2 (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷)))
621, 61mpd 13 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632   · cmul 7637   < clt 7812  cmin 7945   / cdiv 8444  cz 9066  cq 9423  cfl 10053   mod cmo 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108
This theorem is referenced by:  modqmul12d  10163  modqnegd  10164  modqmulmod  10174
  Copyright terms: Public domain W3C validator