ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reccn2ap GIF version

Theorem reccn2ap 11430
Description: The reciprocal function is continuous. The class 𝑇 is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2189. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2ap.t 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
reccn2ap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐴   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑤)

Proof of Theorem reccn2ap
StepHypRef Expression
1 reccn2ap.t . . 3 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
2 1red 8020 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3 simp1 999 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simp2 1000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 # 0)
53, 4absrpclapd 11306 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6 simp3 1001 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
75, 6rpmulcld 9765 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
87rpred 9748 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
9 mincl 11348 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
102, 8, 9syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
117rpgt0d 9751 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))
12 0lt1 8132 . . . . . . 7 0 < 1
1311, 12jctil 312 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵)))
14 0red 8006 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
15 ltmininf 11352 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
1614, 2, 8, 15syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
1713, 16mpbird 167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ))
1810, 17elrpd 9745 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
195rphalfcld 9761 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
2018, 19rpmulcld 9765 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
211, 20eqeltrid 2276 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
223adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0})
24 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
2524elrab 2912 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
2623, 25sylib 122 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
2726simpld 112 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
2822, 27mulcld 8026 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
294adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 # 0)
3026simprd 114 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 # 0)
3122, 27, 29, 30mulap0d 8663 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) # 0)
3222, 27, 28, 31divsubdirapd 8835 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
3322mulridd 8022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3433oveq1d 5921 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
35 1cnd 8021 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
3635, 27, 22, 30, 29divcanap5d 8822 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
3734, 36eqtr3d 2224 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
3827mulridd 8022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
3927, 22mulcomd 8027 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
4038, 39oveq12d 5924 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
4135, 22, 27, 29, 30divcanap5d 8822 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
4240, 41eqtr3d 2224 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
4337, 42oveq12d 5924 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
4432, 43eqtrd 2222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
4544fveq2d 5546 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
4622, 27subcld 8316 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
4746, 28, 31absdivapd 11313 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
4845, 47eqtr3d 2224 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
4946abscld 11299 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) ∈ ℝ)
5021adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
5150rpred 9748 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5228abscld 11299 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
536rpred 9748 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5453adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5552, 54remulcld 8036 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
5622, 27abssubd 11311 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐴)))
57 simprr 531 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)
5856, 57eqbrtrd 4047 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < 𝑇)
597adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
6059rpred 9748 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
6119adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
6261rpred 9748 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
6360, 62remulcld 8036 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
64 1re 8004 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
65 min2inf 11350 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
6664, 60, 65sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
6710adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6867, 60, 61lemul1d 9792 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
6966, 68mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
701, 69eqbrtrid 4060 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
7127abscld 11299 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
7222abscld 11299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7372recnd 8034 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74732halvesd 9214 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
7572, 71resubcld 8386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
7627, 22subcld 8316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 11299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
7856, 77eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) ∈ ℝ)
7922, 27abs2difd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴𝑧)))
80 min1inf 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
8164, 60, 80sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
82 1red 8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
8367, 82, 61lemul1d 9792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
8481, 83mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
851, 84eqbrtrid 4060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
8662recnd 8034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
8786mulid2d 8024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
8885, 87breqtrd 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
8978, 51, 62, 58, 88ltletrd 8428 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
9075, 78, 62, 79, 89lelttrd 8130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
9172, 71, 62ltsubadd2d 8548 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
9290, 91mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
9374, 92eqbrtrd 4047 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
9462, 71, 62ltadd1d 8543 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
9593, 94mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
9662, 71, 59, 95ltmul2dd 9805 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
9722, 27absmuld 11312 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
9897oveq1d 5921 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
9971recnd 8034 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
10054recnd 8034 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10173, 99, 100mul32d 8158 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
10298, 101eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
10396, 102breqtrrd 4053 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
10451, 63, 55, 70, 103lelttrd 8130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
10549, 51, 55, 58, 104lttrd 8131 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
10628, 31absrpclapd 11306 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
10749, 54, 106ltdivmuld 9800 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
108105, 107mpbird 167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
10948, 108eqbrtrd 4047 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
110109expr 375 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
111110ralrimiva 2563 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
112 breq2 4029 . . 3 (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇))
113112rspceaimv 2868 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
11421, 111, 113syl2anc 411 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  {crab 2472  {cpr 3615   class class class wbr 4025  cfv 5242  (class class class)co 5906  infcinf 7028  cc 7856  cr 7857  0cc0 7858  1c1 7859   + caddc 7861   · cmul 7863   < clt 8040  cle 8041  cmin 8176   # cap 8586   / cdiv 8677  2c2 9019  +crp 9705  abscabs 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-rp 9706  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117
This theorem is referenced by:  divcnap  14680  cdivcncfap  14715
  Copyright terms: Public domain W3C validator