Theorem reccn2ap 11624

Description: The reciprocal function is continuous. The class 𝑇 is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2205. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2ap.t	⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐴   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑤)

Proof of Theorem reccn2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2ap.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1red 8087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 # 0)
5	3, 4	absrpclapd 11499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6		simp3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	5, 6	rpmulcld 9835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
9		mincl 11542	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	2, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11	7	rpgt0d 9821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))
12		0lt1 8199	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13	11, 12	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵)))
14		0red 8073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
15		ltmininf 11546	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
16	14, 2, 8, 15	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
17	13, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ))
18	10, 17	elrpd 9815	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19	5	rphalfcld 9831	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
20	18, 19	rpmulcld 9835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
21	1, 20	eqeltrid 2292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
22	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0})
24		breq1 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	24	elrab 2929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
26	23, 25	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
27	26	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28	22, 27	mulcld 8093	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
29	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 # 0)
30	26	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 # 0)
31	22, 27, 29, 30	mulap0d 8731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) # 0)
32	22, 27, 28, 31	divsubdirapd 8903	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
33	22	mulridd 8089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	33	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
35		1cnd 8088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
36	35, 27, 22, 30, 29	divcanap5d 8890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
37	34, 36	eqtr3d 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
38	27	mulridd 8089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
39	27, 22	mulcomd 8094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
40	38, 39	oveq12d 5962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
41	35, 22, 27, 29, 30	divcanap5d 8890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
42	40, 41	eqtr3d 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
43	37, 42	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
44	32, 43	eqtrd 2238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
45	44	fveq2d 5580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
46	22, 27	subcld 8383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
47	46, 28, 31	absdivapd 11506	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
48	45, 47	eqtr3d 2240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
49	46	abscld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
50	21	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9818	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	28	abscld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
53	6	rpred 9818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	52, 54	remulcld 8103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
56	22, 27	abssubd 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
57		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
58	56, 57	eqbrtrd 4066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
59	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
61	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 9818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
63	60, 62	remulcld 8103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
64		1re 8071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		min2inf 11544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
66	64, 60, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
67	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	67, 60, 61	lemul1d 9862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
69	66, 68	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
70	1, 69	eqbrtrid 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
71	27	abscld 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
72	22	abscld 11492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
73	72	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74	73	2halvesd 9283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
75	72, 71	resubcld 8453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
76	27, 22	subcld 8383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
78	56, 77	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
79	22, 27	abs2difd 11508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
80		min1inf 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
81	64, 60, 80	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
82		1red 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
83	67, 82, 61	lemul1d 9862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
85	1, 84	eqbrtrid 4079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
86	62	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
87	86	mulid2d 8091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
88	85, 87	breqtrd 4070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
89	78, 51, 62, 58, 88	ltletrd 8496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
90	75, 78, 62, 79, 89	lelttrd 8197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
91	72, 71, 62	ltsubadd2d 8616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
92	90, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
93	74, 92	eqbrtrd 4066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
94	62, 71, 62	ltadd1d 8611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
95	93, 94	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
96	62, 71, 59, 95	ltmul2dd 9875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	22, 27	absmuld 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
98	97	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
99	71	recnd 8101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
100	54	recnd 8101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	73, 99, 100	mul32d 8225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
102	98, 101	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
103	96, 102	breqtrrd 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
104	51, 63, 55, 70, 103	lelttrd 8197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
105	49, 51, 55, 58, 104	lttrd 8198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
106	28, 31	absrpclapd 11499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
107	49, 54, 106	ltdivmuld 9870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
108	105, 107	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
109	48, 108	eqbrtrd 4066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
110	109	expr 375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
111	110	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
112		breq2 4048	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
113	112	rspceaimv 2885	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
114	21, 111, 113	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485  {crab 2488  {cpr 3634   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  infcinf 7085  ℂcc 7923  ℝcr 7924  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107   ≤ cle 8108   − cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745  2c2 9087  ℝ⁺crp 9775  abscabs 11308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  divcnap  15037  cdivcncfap  15076