Theorem reccn2ap 11873

Description: The reciprocal function is continuous. The class 𝑇 is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2231. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2ap.t	⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐴   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑤)

Proof of Theorem reccn2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2ap.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1red 8193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 1023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 # 0)
5	3, 4	absrpclapd 11748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6		simp3 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	5, 6	rpmulcld 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
9		mincl 11791	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	2, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11	7	rpgt0d 9933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))
12		0lt1 8305	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13	11, 12	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵)))
14		0red 8179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
15		ltmininf 11795	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
16	14, 2, 8, 15	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
17	13, 16	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ))
18	10, 17	elrpd 9927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19	5	rphalfcld 9943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
20	18, 19	rpmulcld 9947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
21	1, 20	eqeltrid 2318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
22	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0})
24		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	24	elrab 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
26	23, 25	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
27	26	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28	22, 27	mulcld 8199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
29	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 # 0)
30	26	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 # 0)
31	22, 27, 29, 30	mulap0d 8837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) # 0)
32	22, 27, 28, 31	divsubdirapd 9009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
33	22	mulridd 8195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	33	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
35		1cnd 8194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
36	35, 27, 22, 30, 29	divcanap5d 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
37	34, 36	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
38	27	mulridd 8195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
39	27, 22	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
40	38, 39	oveq12d 6035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
41	35, 22, 27, 29, 30	divcanap5d 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
42	40, 41	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
43	37, 42	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
44	32, 43	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
45	44	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
46	22, 27	subcld 8489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
47	46, 28, 31	absdivapd 11755	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
48	45, 47	eqtr3d 2266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
49	46	abscld 11741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
50	21	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	28	abscld 11741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
53	6	rpred 9930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	52, 54	remulcld 8209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
56	22, 27	abssubd 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
57		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
58	56, 57	eqbrtrd 4110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
59	7	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
61	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 9930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
63	60, 62	remulcld 8209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
64		1re 8177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		min2inf 11793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
66	64, 60, 65	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
67	10	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	67, 60, 61	lemul1d 9974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
69	66, 68	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
70	1, 69	eqbrtrid 4123	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
71	27	abscld 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
72	22	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
73	72	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74	73	2halvesd 9389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
75	72, 71	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
76	27, 22	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
78	56, 77	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
79	22, 27	abs2difd 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
80		min1inf 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
81	64, 60, 80	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
82		1red 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
83	67, 82, 61	lemul1d 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
84	81, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
85	1, 84	eqbrtrid 4123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
86	62	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
87	86	mulid2d 8197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
88	85, 87	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
89	78, 51, 62, 58, 88	ltletrd 8602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
90	75, 78, 62, 79, 89	lelttrd 8303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
91	72, 71, 62	ltsubadd2d 8722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
92	90, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
93	74, 92	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
94	62, 71, 62	ltadd1d 8717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
95	93, 94	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
96	62, 71, 59, 95	ltmul2dd 9987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	22, 27	absmuld 11754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
98	97	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
99	71	recnd 8207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
100	54	recnd 8207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	73, 99, 100	mul32d 8331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
102	98, 101	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
103	96, 102	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
104	51, 63, 55, 70, 103	lelttrd 8303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
105	49, 51, 55, 58, 104	lttrd 8304	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
106	28, 31	absrpclapd 11748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
107	49, 54, 106	ltdivmuld 9982	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
108	105, 107	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
109	48, 108	eqbrtrd 4110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
110	109	expr 375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
111	110	ralrimiva 2605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
112		breq2 4092	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
113	112	rspceaimv 2918	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
114	21, 111, 113	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  infcinf 7181  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  ℝ⁺crp 9887  abscabs 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  divcnap  15288  cdivcncfap  15327