ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reccn2ap GIF version

Theorem reccn2ap 11320
Description: The reciprocal function is continuous. The class ๐‘‡ is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2177. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2ap.t ๐‘‡ = (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
Assertion
Ref Expression
reccn2ap ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ง,๐ด   ๐‘ค,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐‘‡,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐‘‡(๐‘ค)

Proof of Theorem reccn2ap
StepHypRef Expression
1 reccn2ap.t . . 3 ๐‘‡ = (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
2 1red 7971 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3 simp1 997 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simp2 998 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด # 0)
53, 4absrpclapd 11196 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
6 simp3 999 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
75, 6rpmulcld 9712 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
87rpred 9695 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
9 mincl 11238 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
102, 8, 9syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
117rpgt0d 9698 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
12 0lt1 8083 . . . . . . 7 0 < 1
1311, 12jctil 312 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (0 < 1 โˆง 0 < ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
14 0red 7957 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
15 ltmininf 11242 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ†” (0 < 1 โˆง 0 < ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
1614, 2, 8, 15syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (0 < inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ†” (0 < 1 โˆง 0 < ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))))
1713, 16mpbird 167 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ))
1810, 17elrpd 9692 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โˆˆ โ„+)
195rphalfcld 9708 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„+)
2018, 19rpmulcld 9712 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โˆˆ โ„+)
211, 20eqeltrid 2264 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
223adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0})
24 breq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค # 0 โ†” ๐‘ง # 0))
2524elrab 2893 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง # 0))
2623, 25sylib 122 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง # 0))
2726simpld 112 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
2822, 27mulcld 7977 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
294adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ด # 0)
3026simprd 114 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘ง # 0)
3122, 27, 29, 30mulap0d 8614 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ง) # 0)
3222, 27, 28, 31divsubdirapd 8786 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = ((๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง))))
3322mulridd 7973 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3433oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด ยท 1) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)))
35 1cnd 7972 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3635, 27, 22, 30, 29divcanap5d 8773 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด ยท 1) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐‘ง))
3734, 36eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐‘ง))
3827mulridd 7973 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง ยท 1) = ๐‘ง)
3927, 22mulcomd 7978 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ด) = (๐ด ยท ๐‘ง))
4038, 39oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ง ยท 1) / (๐‘ง ยท ๐ด)) = (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง)))
4135, 22, 27, 29, 30divcanap5d 8773 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐‘ง ยท 1) / (๐‘ง ยท ๐ด)) = (1 / ๐ด))
4240, 41eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง)) = (1 / ๐ด))
4337, 42oveq12d 5892 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด / (๐ด ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ง / (๐ด ยท ๐‘ง))) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
4432, 43eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง)) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
4544fveq2d 5519 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง))) = (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))))
4622, 27subcld 8267 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
4746, 28, 31absdivapd 11203 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐‘ง) / (๐ด ยท ๐‘ง))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))))
4845, 47eqtr3d 2212 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))))
4946abscld 11189 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
5021adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
5150rpred 9695 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
5228abscld 11189 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
536rpred 9695 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5453adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5552, 54remulcld 7987 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5622, 27abssubd 11201 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) = (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)))
57 simprr 531 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)
5856, 57eqbrtrd 4025 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ๐‘‡)
597adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
6059rpred 9695 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6119adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„+)
6261rpred 9695 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„)
6360, 62remulcld 7987 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โˆˆ โ„)
64 1re 7955 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
65 min2inf 11240 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
6664, 60, 65sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
6710adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
6867, 60, 61lemul1d 9739 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โ†” (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))))
6966, 68mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
701, 69eqbrtrid 4038 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
7127abscld 11189 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
7222abscld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7372recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
74732halvesd 9163 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) = (absโ€˜๐ด))
7572, 71resubcld 8337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
7627, 22subcld 8267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (๐‘ง โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
7776abscld 11189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
7856, 77eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
7922, 27abs2difd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)))
80 min1inf 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค 1)
8164, 60, 80sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค 1)
82 1red 7971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8367, 82, 61lemul1d 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) โ‰ค 1 โ†” (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))))
8481, 83mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (inf({1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต)}, โ„, < ) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
851, 84eqbrtrid 4038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)))
8662recnd 7985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) โˆˆ โ„‚)
8786mulid2d 7975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (1 ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) = ((absโ€˜๐ด) / 2))
8885, 87breqtrd 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ โ‰ค ((absโ€˜๐ด) / 2))
8978, 51, 62, 58, 88ltletrd 8379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2))
9075, 78, 62, 79, 89lelttrd 8081 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2))
9172, 71, 62ltsubadd2d 8499 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) โˆ’ (absโ€˜๐‘ง)) < ((absโ€˜๐ด) / 2) โ†” (absโ€˜๐ด) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2))))
9290, 91mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐ด) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2)))
9374, 92eqbrtrd 4025 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2)))
9462, 71, 62ltadd1d 8494 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / 2) < (absโ€˜๐‘ง) โ†” (((absโ€˜๐ด) / 2) + ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜๐‘ง) + ((absโ€˜๐ด) / 2))))
9593, 94mpbird 167 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / 2) < (absโ€˜๐‘ง))
9662, 71, 59, 95ltmul2dd 9752 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) < (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9722, 27absmuld 11202 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
9897oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)) ยท ๐ต))
9971recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
10054recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10173, 99, 100mul32d 8109 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
10298, 101eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต) = (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท (absโ€˜๐‘ง)))
10396, 102breqtrrd 4031 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท ๐ต) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
10451, 63, 55, 70, 103lelttrd 8081 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ๐‘‡ < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
10549, 51, 55, 58, 104lttrd 8082 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต))
10628, 31absrpclapd 11196 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„+)
10749, 54, 106ltdivmuld 9747 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))) < ๐ต โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) < ((absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง)) ยท ๐ต)))
108105, 107mpbird 167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘ง)) / (absโ€˜(๐ด ยท ๐‘ง))) < ๐ต)
10948, 108eqbrtrd 4025 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡)) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต)
110109expr 375 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
111110ralrimiva 2550 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
112 breq2 4007 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘‡ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†” (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡))
113112rspceaimv 2849 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘‡ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
11421, 111, 113syl2anc 411 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆฃ ๐‘ค # 0} ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  {crab 2459  {cpr 3593   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  โ„+crp 9652  abscabs 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by:  divcnap  13991  cdivcncfap  14023
  Copyright terms: Public domain W3C validator