Theorem reccn2ap 10971

Description: The reciprocal function is continuous. The class 𝑇 is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2115. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2ap.t	⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2ap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐴   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑤)

Proof of Theorem reccn2ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2ap.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1red 7702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
3		simp1 964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 # 0)
5	3, 4	absrpclapd 10849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6		simp3 966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	5, 6	rpmulcld 9396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
9		mincl 10891	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	2, 8, 9	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11	7	rpgt0d 9382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))
12		0lt1 7809	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13	11, 12	jctil 308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵)))
14		0red 7688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
15		ltmininf 10895	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
16	14, 2, 8, 15	syl3anc 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < 1 ∧ 0 < ((abs‘𝐴) · 𝐵))))
17	13, 16	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ))
18	10, 17	elrpd 9377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19	5	rphalfcld 9392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
20	18, 19	rpmulcld 9396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
21	1, 20	syl5eqel 2201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
22	3	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprl 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0})
24		breq1 3898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
25	24	elrab 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
26	23, 25	sylib 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
27	26	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28	22, 27	mulcld 7707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
29	4	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 # 0)
30	26	simprd 113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 # 0)
31	22, 27, 29, 30	mulap0d 8329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) # 0)
32	22, 27, 28, 31	divsubdirapd 8500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
33	22	mulid1d 7704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
34	33	oveq1d 5743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
35		1cnd 7703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
36	35, 27, 22, 30, 29	divcanap5d 8487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
37	34, 36	eqtr3d 2149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
38	27	mulid1d 7704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
39	27, 22	mulcomd 7708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
40	38, 39	oveq12d 5746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
41	35, 22, 27, 29, 30	divcanap5d 8487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
42	40, 41	eqtr3d 2149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
43	37, 42	oveq12d 5746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
44	32, 43	eqtrd 2147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
45	44	fveq2d 5379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
46	22, 27	subcld 7993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
47	46, 28, 31	absdivapd 10856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
48	45, 47	eqtr3d 2149	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
49	46	abscld 10842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
50	21	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
51	50	rpred 9379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
52	28	abscld 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
53	6	rpred 9379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	53	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	52, 54	remulcld 7717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
56	22, 27	abssubd 10854	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
57		simprr 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
58	56, 57	eqbrtrd 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
59	7	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
60	59	rpred 9379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
61	19	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
62	61	rpred 9379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
63	60, 62	remulcld 7717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
64		1re 7686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
65		min2inf 10893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
66	64, 60, 65	sylancr 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
67	10	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
68	67, 60, 61	lemul1d 9423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
69	66, 68	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
70	1, 69	eqbrtrid 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
71	27	abscld 10842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
72	22	abscld 10842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
73	72	recnd 7715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
74	73	2halvesd 8866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
75	72, 71	resubcld 8059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
76	27, 22	subcld 7993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 10842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
78	56, 77	eqeltrd 2191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
79	22, 27	abs2difd 10858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
80		min1inf 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
81	64, 60, 80	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1)
82		1red 7702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
83	67, 82, 61	lemul1d 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) ≤ 1 ↔ (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
84	81, 83	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (inf({1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
85	1, 84	eqbrtrid 3928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
86	62	recnd 7715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
87	86	mulid2d 7705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
88	85, 87	breqtrd 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
89	78, 51, 62, 58, 88	ltletrd 8101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
90	75, 78, 62, 79, 89	lelttrd 7807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
91	72, 71, 62	ltsubadd2d 8220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
92	90, 91	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
93	74, 92	eqbrtrd 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
94	62, 71, 62	ltadd1d 8215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
95	93, 94	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
96	62, 71, 59, 95	ltmul2dd 9436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	22, 27	absmuld 10855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
98	97	oveq1d 5743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
99	71	recnd 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
100	54	recnd 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
101	73, 99, 100	mul32d 7835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
102	98, 101	eqtrd 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
103	96, 102	breqtrrd 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
104	51, 63, 55, 70, 103	lelttrd 7807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
105	49, 51, 55, 58, 104	lttrd 7808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
106	28, 31	absrpclapd 10849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
107	49, 54, 106	ltdivmuld 9431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
108	105, 107	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
109	48, 108	eqbrtrd 3915	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
110	109	expr 370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
111	110	ralrimiva 2479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
112		breq2 3899	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
113	112	rspceaimv 2767	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
114	21, 111, 113	syl2anc 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ 𝑤 # 0} ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390  ∃wrex 2391  {crab 2394  {cpr 3494   class class class wbr 3895  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  infcinf 6822  ℂcc 7542  ℝcr 7543  0cc0 7544  1c1 7545   + caddc 7547   · cmul 7549   < clt 7721   ≤ cle 7722   − cmin 7853   # cap 8258   / cdiv 8342  2c2 8678  ℝ⁺crp 9340  abscabs 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660  ax-arch 7661  ax-caucvg 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-rp 9341  df-seqfrec 10109  df-exp 10183  df-cj 10504  df-re 10505  df-im 10506  df-rsqrt 10659  df-abs 10660

This theorem is referenced by:  divcnap  12538  cdivcncfap  12570