ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcp1n GIF version

Theorem bcp1n 10066
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1n (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))

Proof of Theorem bcp1n
StepHypRef Expression
1 elfz3nn0 9459 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 facp1 10035 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
31, 2syl 14 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
4 fznn0sub 9402 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
5 facp1 10035 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
64, 5syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
71nn0cnd 8661 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 7448 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 9458 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 8661 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
117, 8, 10addsubd 7758 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
1211fveq2d 5272 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
1311oveq2d 5629 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
146, 12, 133eqtr4d 2127 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
1514oveq1d 5628 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
164faccld 10041 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
1716nncnd 8371 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
18 nn0p1nn 8645 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
194, 18syl 14 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
2011, 19eqeltrd 2161 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
2120nncnd 8371 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
229faccld 10041 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
2322nncnd 8371 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
2417, 21, 23mul32d 7579 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
2515, 24eqtrd 2117 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
263, 25oveq12d 5631 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
271faccld 10041 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2827nncnd 8371 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
2916, 22nnmulcld 8405 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
3029nncnd 8371 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
31 nn0p1nn 8645 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
321, 31syl 14 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3332nncnd 8371 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3429nnap0d 8402 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
3520nnap0d 8402 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) # 0)
3628, 30, 33, 21, 34, 35divmuldivapd 8236 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
3726, 36eqtr4d 2120 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
38 fzelp1 9418 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
39 bcval2 10055 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
4038, 39syl 14 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((!‘(𝑁 + 1)) / ((!‘((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
41 bcval2 10055 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4241oveq1d 5628 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4337, 40, 423eqtr4d 2127 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  cfv 4981  (class class class)co 5613  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299  cmin 7597   / cdiv 8078  cn 8357  0cn0 8606  ...cfz 9356  !cfa 10030  Ccbc 10052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-fz 9357  df-iseq 9780  df-fac 10031  df-bc 10053
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10067  bcpasc  10071
  Copyright terms: Public domain W3C validator