ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  conjmulap GIF version

Theorem conjmulap 8699
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
conjmulap (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmulap
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3 recclap 8649 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4mul32d 8123 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„))
6 recidap 8656 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) = 1)
76oveq1d 5903 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
87adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
9 mullid 7968 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
109ad2antrl 490 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
115, 8, 103eqtrd 2224 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ๐‘„)
12 recclap 8649 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
141, 2, 13mulassd 7994 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))))
15 recidap 8656 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„)) = 1)
1615oveq2d 5904 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
1716adantl 277 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
18 mulrid 7967 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
1918ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
2014, 17, 193eqtrd 2224 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = ๐‘ƒ)
2111, 20oveq12d 5906 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
22 mulcl 7951 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2322ad2ant2r 509 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2423, 4, 13adddid 7995 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
25 addcom 8107 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2625ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2721, 24, 263eqtr4d 2230 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
2822mulridd 7987 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
2928ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
3027, 29eqeq12d 2202 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„)))
31 addcl 7949 . . . 4 (((1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
323, 12, 31syl2an 289 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
33 mulap0 8624 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)
34 ax-1cn 7917 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
35 mulcanap 8635 . . . 4 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3634, 35mp3an2 1335 . . 3 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3732, 23, 33, 36syl12anc 1246 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
38 eqcom 2189 . . . 4 ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
39 muleqadd 8638 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4038, 39bitrid 192 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4140ad2ant2r 509 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4230, 37, 413bitr3d 218 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141   # cap 8551   / cdiv 8642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator