ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  conjmulap GIF version

Theorem conjmulap 8705
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
conjmulap (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmulap
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3 recclap 8655 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4mul32d 8129 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„))
6 recidap 8662 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) = 1)
76oveq1d 5906 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
87adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
9 mullid 7974 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
109ad2antrl 490 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
115, 8, 103eqtrd 2226 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ๐‘„)
12 recclap 8655 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
141, 2, 13mulassd 8000 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))))
15 recidap 8662 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„)) = 1)
1615oveq2d 5907 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
1716adantl 277 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
18 mulrid 7973 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
1918ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
2014, 17, 193eqtrd 2226 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = ๐‘ƒ)
2111, 20oveq12d 5909 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
22 mulcl 7957 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2322ad2ant2r 509 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2423, 4, 13adddid 8001 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
25 addcom 8113 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2625ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2721, 24, 263eqtr4d 2232 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
2822mulridd 7993 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
2928ad2ant2r 509 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
3027, 29eqeq12d 2204 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„)))
31 addcl 7955 . . . 4 (((1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
323, 12, 31syl2an 289 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
33 mulap0 8630 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)
34 ax-1cn 7923 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
35 mulcanap 8641 . . . 4 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3634, 35mp3an2 1336 . . 3 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3732, 23, 33, 36syl12anc 1247 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
38 eqcom 2191 . . . 4 ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
39 muleqadd 8644 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4038, 39bitrid 192 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4140ad2ant2r 509 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4230, 37, 413bitr3d 218 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835   โˆ’ cmin 8147   # cap 8557   / cdiv 8648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator