Theorem resqrexlemcalc1 11763

Description: Lemma for resqrex 11775. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
5	4	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2))
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
7	6	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 10080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 7	rerpdivcld 10112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 8349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℂ)
13		2cnd 9360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14		2ap0 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
16	12, 13, 15	sqdivapd 11107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
17	5, 16	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18		sq2 11055	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
19	18	oveq2i 6090	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4)
20	17, 19	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4))
21	9	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		4cn 9365	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24		4re 9364	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26		4pos 9384	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
28	25, 27	gt0ap0d 8951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
29	21, 23, 28	divcanap3d 9119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
31	20, 30	oveq12d 6097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
32	12	sqcld 11092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
33	23, 21	mulcld 8340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 9154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
35	31, 34	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
36	8	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
37	36	sqcld 11092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
38	13, 21	mulcld 8340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	37, 38, 33	addsubassd 8651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40		2cn 9358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
41	22, 40	negsubdi2i 8606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = (2 − 4)
42		2p2e4 9414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 2) = 4
43	42	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
44	40, 40	pncan3oi 8536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 − 2) = 2
46	45	negeqi 8514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = -2
47	41, 46	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 4) = -2
48	47	oveq1i 6089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
49	13, 23, 21	subdird 8736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
50	13, 21	mulneg1d 8732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
52	51	oveq2d 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
53	37, 38	negsubd 8637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
54	39, 52, 53	3eqtrd 2275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
55	54	oveq1d 6094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
56	10	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ)
57		binom2 11071	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
58	36, 56, 57	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
59	7	rpap0d 10086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
60	21, 36, 59	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) = 𝐴)
61	60	oveq2d 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))) = (2 · 𝐴))
62	61	oveq2d 6095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
63	62	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
64	58, 63	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
65	64	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
66	37, 38	addcld 8339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	56	sqcld 11092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) ∈ ℂ)
68	66, 67, 33	addsubd 8652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
69	65, 68	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
70	37, 38	subcld 8631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	70, 67	addcld 8339	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72		2z 9655	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
74	7, 73	rpexpcld 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
75	74	rpap0d 10086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
76	71, 37, 75	divcanap4d 9120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
78	37, 38, 37	subdird 8736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
79	37	sqvald 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
80	13, 21, 37	mul32d 8473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴))
81	13, 37, 21	mulassd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)))
82	80, 81	eqtr2d 2272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
83	79, 82	oveq12d 6097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
84	78, 83	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))))
85	21, 36, 59	sqdivapd 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
86	85	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
87	21	sqcld 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
88	87, 37, 75	divcanap1d 9115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
89	86, 88	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
90	84, 89	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
91	70, 67, 37	adddird 8345	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
92		binom2sub 11073	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
93	37, 21, 92	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
95	94	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
96	77, 95	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
97	96	oveq1d 6094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4))
98	37, 21	subcld 8631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
99	98	sqcld 11092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 9146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
101	37, 23	mulcomd 8341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
102	101	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
103	100, 102	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
104	35, 97, 103	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3708   class class class wbr 4128   × cxp 4770  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491  -cneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  4c4 9340  ℤcz 9627  ℝ⁺crp 10037  seqcseq 10867  ↑cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11764