Theorem resqrexlemcalc1 11695

Description: Lemma for resqrex 11707. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
5	4	oveq1d 6064	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2))
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
7	6	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 10028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 7	rerpdivcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 8302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℂ)
13		2cnd 9309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14		2ap0 9329	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
16	12, 13, 15	sqdivapd 11047	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
17	5, 16	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18		sq2 10996	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
19	18	oveq2i 6060	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4)
20	17, 19	eqtrdi 2281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4))
21	9	recnd 8301	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		4cn 9314	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24		4re 9313	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26		4pos 9333	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
28	25, 27	gt0ap0d 8902	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
29	21, 23, 28	divcanap3d 9068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2238	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
31	20, 30	oveq12d 6067	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
32	12	sqcld 11032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
33	23, 21	mulcld 8293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 9103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
35	31, 34	eqtr4d 2268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
36	8	recnd 8301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
37	36	sqcld 11032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
38	13, 21	mulcld 8293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	37, 38, 33	addsubassd 8603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40		2cn 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
41	22, 40	negsubdi2i 8558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = (2 − 4)
42		2p2e4 9363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 2) = 4
43	42	oveq1i 6059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
44	40, 40	pncan3oi 8488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 − 2) = 2
46	45	negeqi 8466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = -2
47	41, 46	eqtr3i 2255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 4) = -2
48	47	oveq1i 6059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
49	13, 23, 21	subdird 8687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
50	13, 21	mulneg1d 8683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
52	51	oveq2d 6065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
53	37, 38	negsubd 8589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
54	39, 52, 53	3eqtrd 2269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
55	54	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
56	10	recnd 8301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ)
57		binom2 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
58	36, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
59	7	rpap0d 10034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
60	21, 36, 59	divcanap2d 9065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) = 𝐴)
61	60	oveq2d 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))) = (2 · 𝐴))
62	61	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
63	62	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
64	58, 63	eqtrd 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
65	64	oveq1d 6064	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
66	37, 38	addcld 8292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	56	sqcld 11032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) ∈ ℂ)
68	66, 67, 33	addsubd 8604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
69	65, 68	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
70	37, 38	subcld 8583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	70, 67	addcld 8292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72		2z 9604	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
74	7, 73	rpexpcld 11058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
75	74	rpap0d 10034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
76	71, 37, 75	divcanap4d 9069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
78	37, 38, 37	subdird 8687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
79	37	sqvald 11031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
80	13, 21, 37	mul32d 8425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴))
81	13, 37, 21	mulassd 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)))
82	80, 81	eqtr2d 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
83	79, 82	oveq12d 6067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
84	78, 83	eqtr4d 2268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))))
85	21, 36, 59	sqdivapd 11047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
86	85	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
87	21	sqcld 11032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
88	87, 37, 75	divcanap1d 9064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
89	86, 88	eqtrd 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
90	84, 89	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
91	70, 67, 37	adddird 8298	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
92		binom2sub 11014	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
93	37, 21, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
95	94	oveq1d 6064	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
96	77, 95	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
97	96	oveq1d 6064	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4))
98	37, 21	subcld 8583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
99	98	sqcld 11032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 9095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
101	37, 23	mulcomd 8294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
102	101	oveq2d 6065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
103	100, 102	eqtrd 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
104	35, 97, 103	3eqtrd 2269	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∈ cmpo 6051  ℂcc 8124  ℝcr 8125  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131   < clt 8307   ≤ cle 8308   − cmin 8443  -cneg 8444   # cap 8854   / cdiv 8945  ℕcn 9236  2c2 9287  4c4 9289  ℤcz 9576  ℝ⁺crp 9985  seqcseq 10808  ↑cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11696