ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc1 GIF version

Theorem resqrexlemcalc1 10346
Description: Lemma for resqrex 10358. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10341 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
54oveq1d 5630 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2))
61, 2, 3resqrexlemf 10339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
87rpred 9108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
92adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
109, 7rerpdivcld 9140 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 7464 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
1211recnd 7463 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℂ)
13 2cnd 8433 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14 2ap0 8453 . . . . . . . 8 2 # 0
1514a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
1612, 13, 15sqdivapd 9999 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
175, 16eqtrd 2117 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18 sq2 9952 . . . . . 6 (2↑2) = 4
1918oveq2i 5626 . . . . 5 ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4)
2017, 19syl6eq 2133 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4))
219recnd 7463 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 4cn 8438 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
2322a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24 4re 8437 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26 4pos 8457 . . . . . . . 8 0 < 4
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
2825, 27gt0ap0d 8049 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
2921, 23, 28divcanap3d 8203 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
3029eqcomd 2090 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
3120, 30oveq12d 5633 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3212sqcld 9984 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
3323, 21mulcld 7455 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8237 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3531, 34eqtr4d 2120 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
368recnd 7463 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3736sqcld 9984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3813, 21mulcld 7455 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3937, 38, 33addsubassd 7760 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40 2cn 8431 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4122, 40negsubdi2i 7715 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = (2 − 4)
42 2p2e4 8480 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
4342oveq1i 5625 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
4440, 40pncan3oi 7645 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = 2
4543, 44eqtr3i 2107 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 2) = 2
4645negeqi 7623 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = -2
4741, 46eqtr3i 2107 . . . . . . . . . 10 (2 − 4) = -2
4847oveq1i 5625 . . . . . . . . 9 ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
4913, 23, 21subdird 7840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
5013, 21mulneg1d 7836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
5148, 49, 503eqtr3a 2141 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
5251oveq2d 5631 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
5337, 38negsubd 7746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5439, 52, 533eqtrd 2121 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5554oveq1d 5630 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5610recnd 7463 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ)
57 binom2 9966 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5836, 56, 57syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
597rpap0d 9114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
6021, 36, 59divcanap2d 8200 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))) = 𝐴)
6160oveq2d 5631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁)))) = (2 · 𝐴))
6261oveq2d 5631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) = (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
6362oveq1d 5630 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6458, 63eqtrd 2117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6564oveq1d 5630 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
6637, 38addcld 7454 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6756sqcld 9984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) ∈ ℂ)
6866, 67, 33addsubd 7761 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6965, 68eqtrd 2117 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7037, 38subcld 7740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7170, 67addcld 7454 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72 2z 8714 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7372a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
747, 73rpexpcld 10010 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
7574rpap0d 9114 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
7671, 37, 75divcanap4d 8204 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7755, 69, 763eqtr4d 2127 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)))
7837, 38, 37subdird 7840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
7937sqvald 9983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8013, 21, 37mul32d 7582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴))
8113, 37, 21mulassd 7458 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)))
8280, 81eqtr2d 2118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8379, 82oveq12d 5633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
8478, 83eqtr4d 2120 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))))
8521, 36, 59sqdivapd 9999 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
8685oveq1d 5630 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8721sqcld 9984 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8887, 37, 75divcanap1d 8199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
8986, 88eqtrd 2117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
9084, 89oveq12d 5633 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9170, 67, 37adddird 7460 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))))
92 binom2sub 9968 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9337, 21, 92syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9490, 91, 933eqtr4d 2127 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
9594oveq1d 5630 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9677, 95eqtrd 2117 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9796oveq1d 5630 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4))
9837, 21subcld 7740 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
9998sqcld 9984 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8229 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
10137, 23mulcomd 7456 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹𝑁)↑2)))
102101oveq2d 5631 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
103100, 102eqtrd 2117 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
10435, 97, 1033eqtrd 2121 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  {csn 3431   class class class wbr 3822   × cxp 4411  cfv 4983  (class class class)co 5615  cmpt2 5617  cc 7295  cr 7296  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302   < clt 7469  cle 7470  cmin 7600  -cneg 7601   # cap 8002   / cdiv 8081  cn 8360  2c2 8410  4c4 8412  cz 8686  +crp 9069  seqcseq 9782  cexp 9856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9783  df-iexp 9857
This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10347
  Copyright terms: Public domain W3C validator