Theorem resqrexlemcalc1 11486

Description: Lemma for resqrex 11498. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
5	4	oveq1d 5984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2))
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
7	6	ffvelcdmda 5740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 7	rerpdivcld 9887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 8139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℂ)
13		2cnd 9146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14		2ap0 9166	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
16	12, 13, 15	sqdivapd 10870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
17	5, 16	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18		sq2 10819	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
19	18	oveq2i 5980	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4)
20	17, 19	eqtrdi 2256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4))
21	9	recnd 8138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		4cn 9151	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24		4re 9150	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26		4pos 9170	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
28	25, 27	gt0ap0d 8739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
29	21, 23, 28	divcanap3d 8905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
31	20, 30	oveq12d 5987	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
32	12	sqcld 10855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
33	23, 21	mulcld 8130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 8940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
35	31, 34	eqtr4d 2243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
36	8	recnd 8138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
37	36	sqcld 10855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
38	13, 21	mulcld 8130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	37, 38, 33	addsubassd 8440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40		2cn 9144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
41	22, 40	negsubdi2i 8395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = (2 − 4)
42		2p2e4 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 2) = 4
43	42	oveq1i 5979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
44	40, 40	pncan3oi 8325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 − 2) = 2
46	45	negeqi 8303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = -2
47	41, 46	eqtr3i 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 4) = -2
48	47	oveq1i 5979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
49	13, 23, 21	subdird 8524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
50	13, 21	mulneg1d 8520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
52	51	oveq2d 5985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
53	37, 38	negsubd 8426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
54	39, 52, 53	3eqtrd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
55	54	oveq1d 5984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
56	10	recnd 8138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ)
57		binom2 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
58	36, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
59	7	rpap0d 9861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
60	21, 36, 59	divcanap2d 8902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) = 𝐴)
61	60	oveq2d 5985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))) = (2 · 𝐴))
62	61	oveq2d 5985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
63	62	oveq1d 5984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
64	58, 63	eqtrd 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
65	64	oveq1d 5984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
66	37, 38	addcld 8129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	56	sqcld 10855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) ∈ ℂ)
68	66, 67, 33	addsubd 8441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
69	65, 68	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
70	37, 38	subcld 8420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	70, 67	addcld 8129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72		2z 9437	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
74	7, 73	rpexpcld 10881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
75	74	rpap0d 9861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
76	71, 37, 75	divcanap4d 8906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
78	37, 38, 37	subdird 8524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
79	37	sqvald 10854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
80	13, 21, 37	mul32d 8262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴))
81	13, 37, 21	mulassd 8133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)))
82	80, 81	eqtr2d 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
83	79, 82	oveq12d 5987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
84	78, 83	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))))
85	21, 36, 59	sqdivapd 10870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
86	85	oveq1d 5984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
87	21	sqcld 10855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
88	87, 37, 75	divcanap1d 8901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
89	86, 88	eqtrd 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
90	84, 89	oveq12d 5987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
91	70, 67, 37	adddird 8135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
92		binom2sub 10837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
93	37, 21, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
95	94	oveq1d 5984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
96	77, 95	eqtrd 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
97	96	oveq1d 5984	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4))
98	37, 21	subcld 8420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
99	98	sqcld 10855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 8932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
101	37, 23	mulcomd 8131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
102	101	oveq2d 5985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
103	100, 102	eqtrd 2240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
104	35, 97, 103	3eqtrd 2244	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {csn 3644   class class class wbr 4060   × cxp 4692  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969   ∈ cmpo 5971  ℂcc 7960  ℝcr 7961  0cc0 7962  1c1 7963   + caddc 7965   · cmul 7967   < clt 8144   ≤ cle 8145   − cmin 8280  -cneg 8281   # cap 8691   / cdiv 8782  ℕcn 9073  2c2 9124  4c4 9126  ℤcz 9409  ℝ⁺crp 9812  seqcseq 10631  ↑cexp 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-rp 9813  df-seqfrec 10632  df-exp 10723

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11487