Theorem resqrexlemcalc1 11533

Description: Lemma for resqrex 11545. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemfp1 11528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
5	4	oveq1d 6022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2))
6	1, 2, 3	resqrexlemf 11526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
7	6	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
9	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 7	rerpdivcld 9932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
11	8, 10	readdcld 8184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
12	11	recnd 8183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℂ)
13		2cnd 9191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14		2ap0 9211	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
15	14	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
16	12, 13, 15	sqdivapd 10916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
17	5, 16	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18		sq2 10865	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
19	18	oveq2i 6018	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4)
20	17, 19	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4))
21	9	recnd 8183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		4cn 9196	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24		4re 9195	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26		4pos 9215	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 4
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
28	25, 27	gt0ap0d 8784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
29	21, 23, 28	divcanap3d 8950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
30	29	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
31	20, 30	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
32	12	sqcld 10901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
33	23, 21	mulcld 8175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
34	32, 33, 23, 28	divsubdirapd 8985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
35	31, 34	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
36	8	recnd 8183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
37	36	sqcld 10901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
38	13, 21	mulcld 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
39	37, 38, 33	addsubassd 8485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40		2cn 9189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
41	22, 40	negsubdi2i 8440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = (2 − 4)
42		2p2e4 9245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 2) = 4
43	42	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
44	40, 40	pncan3oi 8370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 + 2) − 2) = 2
45	43, 44	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 − 2) = 2
46	45	negeqi 8348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(4 − 2) = -2
47	41, 46	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 4) = -2
48	47	oveq1i 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
49	13, 23, 21	subdird 8569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
50	13, 21	mulneg1d 8565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
51	48, 49, 50	3eqtr3a 2286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
52	51	oveq2d 6023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
53	37, 38	negsubd 8471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
54	39, 52, 53	3eqtrd 2266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
55	54	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
56	10	recnd 8183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ)
57		binom2 10881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
58	36, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
59	7	rpap0d 9906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) # 0)
60	21, 36, 59	divcanap2d 8947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) = 𝐴)
61	60	oveq2d 6023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))) = (2 · 𝐴))
62	61	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
63	62	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹‘𝑁) · (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
64	58, 63	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
65	64	oveq1d 6022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
66	37, 38	addcld 8174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	56	sqcld 10901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) ∈ ℂ)
68	66, 67, 33	addsubd 8486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
69	65, 68	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
70	37, 38	subcld 8465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	70, 67	addcld 8174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72		2z 9482	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
73	72	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
74	7, 73	rpexpcld 10927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
75	74	rpap0d 9906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)↑2) # 0)
76	71, 37, 75	divcanap4d 8951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)))
77	55, 69, 76	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
78	37, 38, 37	subdird 8569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
79	37	sqvald 10900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
80	13, 21, 37	mul32d 8307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴))
81	13, 37, 21	mulassd 8178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹‘𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)))
82	80, 81	eqtr2d 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
83	79, 82	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
84	78, 83	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))))
85	21, 36, 59	sqdivapd 10916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
86	85	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
87	21	sqcld 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
88	87, 37, 75	divcanap1d 8946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
89	86, 88	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
90	84, 89	oveq12d 6025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
91	70, 67, 37	adddird 8180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2) · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
92		binom2sub 10883	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
93	37, 21, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹‘𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹‘𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
94	90, 91, 93	3eqtr4d 2272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
95	94	oveq1d 6022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹‘𝑁))↑2)) · ((𝐹‘𝑁)↑2)) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
96	77, 95	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)))
97	96	oveq1d 6022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4))
98	37, 21	subcld 8465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
99	98	sqcld 10901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100	99, 37, 23, 75, 28	divdivap1d 8977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)))
101	37, 23	mulcomd 8176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2)))
102	101	oveq2d 6023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹‘𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
103	100, 102	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹‘𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))
104	35, 97, 103	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹‘𝑁)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4717  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   < clt 8189   ≤ cle 8190   − cmin 8325  -cneg 8326   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  4c4 9171  ℤcz 9454  ℝ⁺crp 9857  seqcseq 10677  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  11534