Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemcalc1 GIF version

Theorem resqrexlemcalc1 10814
 Description: Lemma for resqrex 10826. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc1
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
54oveq1d 5793 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2))
61, 2, 3resqrexlemf 10807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5559 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
87rpred 9509 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
92adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
109, 7rerpdivcld 9541 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 7815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
1211recnd 7814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℂ)
13 2cnd 8813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
14 2ap0 8833 . . . . . . . 8 2 # 0
1514a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 # 0)
1612, 13, 15sqdivapd 10464 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2)↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
175, 16eqtrd 2173 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)))
18 sq2 10415 . . . . . 6 (2↑2) = 4
1918oveq2i 5789 . . . . 5 ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / (2↑2)) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4)
2017, 19eqtrdi 2189 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) = ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4))
219recnd 7814 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 4cn 8818 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
2322a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℂ)
24 4re 8817 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
26 4pos 8837 . . . . . . . 8 0 < 4
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 4)
2825, 27gt0ap0d 8411 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 4 # 0)
2921, 23, 28divcanap3d 8575 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((4 · 𝐴) / 4) = 𝐴)
3029eqcomd 2146 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((4 · 𝐴) / 4))
3120, 30oveq12d 5796 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3212sqcld 10449 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) ∈ ℂ)
3323, 21mulcld 7806 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
3432, 33, 23, 28divsubdirapd 8610 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) / 4) − ((4 · 𝐴) / 4)))
3531, 34eqtr4d 2176 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4))
368recnd 7814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
3736sqcld 10449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
3813, 21mulcld 7806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3937, 38, 33addsubassd 8113 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))))
40 2cn 8811 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
4122, 40negsubdi2i 8068 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = (2 − 4)
42 2p2e4 8867 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
4342oveq1i 5788 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = (4 − 2)
4440, 40pncan3oi 7998 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 + 2) − 2) = 2
4543, 44eqtr3i 2163 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 2) = 2
4645negeqi 7976 . . . . . . . . . . 11 -(4 − 2) = -2
4741, 46eqtr3i 2163 . . . . . . . . . 10 (2 − 4) = -2
4847oveq1i 5788 . . . . . . . . 9 ((2 − 4) · 𝐴) = (-2 · 𝐴)
4913, 23, 21subdird 8197 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 − 4) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)))
5013, 21mulneg1d 8193 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (-2 · 𝐴) = -(2 · 𝐴))
5148, 49, 503eqtr3a 2197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴)) = -(2 · 𝐴))
5251oveq2d 5794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + ((2 · 𝐴) − (4 · 𝐴))) = (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)))
5337, 38negsubd 8099 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + -(2 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5439, 52, 533eqtrd 2177 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)))
5554oveq1d 5793 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5610recnd 7814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ)
57 binom2 10430 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
5836, 56, 57syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
597rpap0d 9515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) # 0)
6021, 36, 59divcanap2d 8572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))) = 𝐴)
6160oveq2d 5794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁)))) = (2 · 𝐴))
6261oveq2d 5794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) = (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)))
6362oveq1d 5793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · ((𝐹𝑁) · (𝐴 / (𝐹𝑁))))) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6458, 63eqtrd 2173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) = ((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6564oveq1d 5793 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)))
6637, 38addcld 7805 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6756sqcld 10449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) ∈ ℂ)
6866, 67, 33addsubd 8114 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
6965, 68eqtrd 2173 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) + (2 · 𝐴)) − (4 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7037, 38subcld 8093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7170, 67addcld 7805 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) ∈ ℂ)
72 2z 9102 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7372a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
747, 73rpexpcld 10475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ+)
7574rpap0d 9515 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) # 0)
7671, 37, 75divcanap4d 8576 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)))
7755, 69, 763eqtr4d 2183 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)))
7837, 38, 37subdird 8197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
7937sqvald 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2)↑2) = (((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8013, 21, 37mul32d 7935 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴))
8113, 37, 21mulassd 7809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · ((𝐹𝑁)↑2)) · 𝐴) = (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)))
8280, 81eqtr2d 2174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8379, 82oveq12d 5796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) = ((((𝐹𝑁)↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐹𝑁)↑2))))
8478, 83eqtr4d 2176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))))
8521, 36, 59sqdivapd 10464 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) = ((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
8685oveq1d 5793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)))
8721sqcld 10449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8887, 37, 75divcanap1d 8571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
8986, 88eqtrd 2173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (𝐴↑2))
9084, 89oveq12d 5796 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9170, 67, 37adddird 7811 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) · ((𝐹𝑁)↑2)) + (((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2) · ((𝐹𝑁)↑2))))
92 binom2sub 10432 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9337, 21, 92syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) = (((((𝐹𝑁)↑2)↑2) − (2 · (((𝐹𝑁)↑2) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
9490, 91, 933eqtr4d 2183 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2))
9594oveq1d 5793 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − (2 · 𝐴)) + ((𝐴 / (𝐹𝑁))↑2)) · ((𝐹𝑁)↑2)) / ((𝐹𝑁)↑2)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9677, 95eqtrd 2173 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)))
9796oveq1d 5793 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁)))↑2) − (4 · 𝐴)) / 4) = ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4))
9837, 21subcld 8093 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℂ)
9998sqcld 10449 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10099, 37, 23, 75, 28divdivap1d 8602 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)))
10137, 23mulcomd 7807 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) · 4) = (4 · ((𝐹𝑁)↑2)))
102101oveq2d 5794 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (((𝐹𝑁)↑2) · 4)) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
103100, 102eqtrd 2173 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / ((𝐹𝑁)↑2)) / 4) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
10435, 97, 1033eqtrd 2177 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑁 + 1))↑2) − 𝐴) = (((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴)↑2) / (4 · ((𝐹𝑁)↑2))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {csn 3528   class class class wbr 3933   × cxp 4541  ‘cfv 5127  (class class class)co 5778   ∈ cmpo 5780  ℂcc 7638  ℝcr 7639  0cc0 7640  1c1 7641   + caddc 7643   · cmul 7645   < clt 7820   ≤ cle 7821   − cmin 7953  -cneg 7954   # cap 8363   / cdiv 8452  ℕcn 8740  2c2 8791  4c4 8793  ℤcz 9074  ℝ+crp 9466  seqcseq 10245  ↑cexp 10319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-rp 9467  df-seqfrec 10246  df-exp 10320 This theorem is referenced by:  resqrexlemcalc2  10815
 Copyright terms: Public domain W3C validator