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Theorem bcm1k 10831

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1k	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

**Proof of Theorem bcm1k**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		nnuz 9628	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 9293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	faccld 10807	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7		fznn0sub 10123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 10807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
12		elfznn 10120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
13		nnm1nn0 9281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
14		faccl 10806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	11, 15	nnmulcld 9031	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
18	9	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
19	12	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
20	16	nnap0d 9028	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) # 0)
21	12	nnap0d 9028	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 8851	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
23		elfzel2 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 8035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 19, 25	subsubd 8358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
27	26	fveq2d 5558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
29	28	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
30	26	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾))
31	29, 30	oveq12d 5936	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)))
32		facp1 10801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
34	33	eqcomd 2199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
35		facnn2 10805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
37	34, 36	oveq12d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
38	7	faccld 10807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
40	12	nnnn0d 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
41	40	faccld 10807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
43	39, 42, 18	mul32d 8172	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
44	11	nncnd 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
45	15	nncnd 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45, 19	mulassd 8043	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
48	47	oveq2d 5934	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2236	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))))
50	6, 18	mulcomd 8041	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
51	38, 41	nnmulcld 9031	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
53	52, 18	mulcomd 8041	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
54	50, 53	oveq12d 5936	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
55	51	nnap0d 9028	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
56	9	nnap0d 9028	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) # 0)
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8836	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2231	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
59		0p1e1 9096	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
60	59	oveq1i 5928	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
61		0z 9328	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzp1ss 10139	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
64	60, 63	eqsstrri 3212	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
65	64	sseli 3175	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
66		bcval2 10821	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
67	65, 66	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
68		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		npcan 8228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70	24, 68, 69	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71		peano2zm 9355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
72		uzid 9606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
73		peano2uz 9648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
75	70, 74	eqeltrrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
76		fzss2 10130	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
78		elfzmlbm 10197	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
79	77, 78	sseldd 3180	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
80		bcval2 10821	. . . 4 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
81	79, 80	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
82	81	oveq1d 5933	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ⊆ wss 3153 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ℂcc 7870 0cc0 7872 1c1 7873 + caddc 7875 · cmul 7877 − cmin 8190 / cdiv 8691 ℕcn 8982 ℕ₀cn0 9240 ℤcz 9317 ℤ_≥cuz 9592 ...cfz 10074 !cfa 10796 Ccbc 10818

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-fz 10075 df-seqfrec 10519 df-fac 10797 df-bc 10819

This theorem is referenced by: bcp1nk 10833 bcpasc 10837

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