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Theorem bcm1k 10068
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 9378 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 nnuz 8989 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleqr 2178 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 8662 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54faccld 10044 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
65nncnd 8374 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7 fznn0sub 9405 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 8648 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
109nnnn0d 8662 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0)
1110faccld 10044 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
12 elfznn 9403 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
13 nnm1nn0 8650 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
14 faccl 10043 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1611, 15nnmulcld 8408 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
1716nncnd 8374 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
189nncnd 8374 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ)
1912nncnd 8374 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2016nnap0d 8405 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) # 0)
2112nnap0d 8405 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
226, 17, 18, 19, 20, 21divmuldivapd 8239 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
23 elfzel2 9373 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2423zcnd 8805 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
25 1cnd 7451 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
2624, 19, 25subsubd 7768 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁𝐾) + 1))
2726fveq2d 5274 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
2827oveq1d 5630 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
2928oveq2d 5631 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
3026oveq1d 5630 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾))
3129, 30oveq12d 5633 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)))
32 facp1 10038 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
337, 32syl 14 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
3433eqcomd 2090 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
35 facnn2 10042 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
3612, 35syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
3734, 36oveq12d 5633 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
387faccld 10044 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
3938nncnd 8374 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
4012nnnn0d 8662 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4140faccld 10044 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
4241nncnd 8374 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
4339, 42, 18mul32d 7582 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
4411nncnd 8374 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
4515nncnd 8374 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
4644, 45, 19mulassd 7458 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
4737, 43, 463eqtr4d 2127 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
4847oveq2d 5631 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
4922, 31, 483eqtr4d 2127 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))))
506, 18mulcomd 7456 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
5138, 41nnmulcld 8408 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
5251nncnd 8374 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
5352, 18mulcomd 7456 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
5450, 53oveq12d 5633 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
5551nnap0d 8405 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
569nnap0d 8405 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) # 0)
576, 52, 18, 55, 56divcanap5d 8224 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
5849, 54, 573eqtrrd 2122 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
59 0p1e1 8474 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
6059oveq1i 5625 . . . . 5 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
61 0z 8697 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
62 fzp1ss 9420 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6361, 62ax-mp 7 . . . . 5 ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6460, 63eqsstr3i 3046 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6564sseli 3010 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
66 bcval2 10058 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6765, 66syl 14 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
68 ax-1cn 7385 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
69 npcan 7638 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7024, 68, 69sylancl 404 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71 peano2zm 8724 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
72 uzid 8968 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
73 peano2uz 9006 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7423, 71, 72, 734syl 18 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7570, 74eqeltrrd 2162 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
76 fzss2 9412 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
7775, 76syl 14 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
78 elfzmlbm 9473 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7977, 78sseldd 3015 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
80 bcval2 10058 . . . 4 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8179, 80syl 14 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8281oveq1d 5630 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8358, 67, 823eqtr4d 2127 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  wss 2988  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  cmin 7600   / cdiv 8081  cn 8360  0cn0 8609  cz 8686  cuz 8954  ...cfz 9359  !cfa 10033  Ccbc 10055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-fz 9360  df-iseq 9783  df-fac 10034  df-bc 10056
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10070  bcpasc  10074
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