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Theorem bcm1k 10990

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1k	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

**Proof of Theorem bcm1k**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		nnuz 9766	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 9430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	faccld 10966	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7		fznn0sub 10261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		nn0p1nn 9416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 10966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
12		elfznn 10258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
13		nnm1nn0 9418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
14		faccl 10965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	11, 15	nnmulcld 9167	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
18	9	nncnd 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
19	12	nncnd 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
20	16	nnap0d 9164	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) # 0)
21	12	nnap0d 9164	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 8987	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
23		elfzel2 10227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 8170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 19, 25	subsubd 8493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
27	26	fveq2d 5633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28	27	oveq1d 6022	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
29	28	oveq2d 6023	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
30	26	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾))
31	29, 30	oveq12d 6025	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)))
32		facp1 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
34	33	eqcomd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
35		facnn2 10964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
37	34, 36	oveq12d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
38	7	faccld 10966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 9132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
40	12	nnnn0d 9430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
41	40	faccld 10966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 9132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
43	39, 42, 18	mul32d 8307	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
44	11	nncnd 9132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
45	15	nncnd 9132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45, 19	mulassd 8178	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2272	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
48	47	oveq2d 6023	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2272	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))))
50	6, 18	mulcomd 8176	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
51	38, 41	nnmulcld 9167	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 9132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
53	52, 18	mulcomd 8176	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
54	50, 53	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
55	51	nnap0d 9164	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
56	9	nnap0d 9164	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) # 0)
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8972	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2267	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
59		0p1e1 9232	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
60	59	oveq1i 6017	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
61		0z 9465	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzp1ss 10277	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
64	60, 63	eqsstrri 3257	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
65	64	sseli 3220	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
66		bcval2 10980	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
67	65, 66	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
68		ax-1cn 8100	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		npcan 8363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70	24, 68, 69	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71		peano2zm 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
72		uzid 9744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
73		peano2uz 9786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
75	70, 74	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
76		fzss2 10268	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
78		elfzmlbm 10335	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
79	77, 78	sseldd 3225	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
80		bcval2 10980	. . . 4 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
81	79, 80	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
82	81	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ⊆ wss 3197 ‘cfv 5318 (class class class)co 6007 ℂcc 8005 0cc0 8007 1c1 8008 + caddc 8010 · cmul 8012 − cmin 8325 / cdiv 8827 ℕcn 9118 ℕ₀cn0 9377 ℤcz 9454 ℤ_≥cuz 9730 ...cfz 10212 !cfa 10955 Ccbc 10977

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-n0 9378 df-z 9455 df-uz 9731 df-q 9823 df-fz 10213 df-seqfrec 10678 df-fac 10956 df-bc 10978

This theorem is referenced by: bcp1nk 10992 bcpasc 10996

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