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Theorem bcm1k 10662

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1k	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

**Proof of Theorem bcm1k**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 9954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		nnuz 9492	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrrdi 2258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 9158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	faccld 10638	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 8862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7		fznn0sub 9982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		nn0p1nn 9144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 10638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
12		elfznn 9979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
13		nnm1nn0 9146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
14		faccl 10637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	11, 15	nnmulcld 8897	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 8862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
18	9	nncnd 8862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
19	12	nncnd 8862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
20	16	nnap0d 8894	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) # 0)
21	12	nnap0d 8894	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 8719	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
23		elfzel2 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 7906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 19, 25	subsubd 8228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
27	26	fveq2d 5484	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28	27	oveq1d 5851	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
29	28	oveq2d 5852	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
30	26	oveq1d 5851	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾))
31	29, 30	oveq12d 5854	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)))
32		facp1 10632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
34	33	eqcomd 2170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
35		facnn2 10636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
37	34, 36	oveq12d 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
38	7	faccld 10638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
40	12	nnnn0d 9158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
41	40	faccld 10638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
43	39, 42, 18	mul32d 8042	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
44	11	nncnd 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
45	15	nncnd 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45, 19	mulassd 7913	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2207	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
48	47	oveq2d 5852	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2207	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))))
50	6, 18	mulcomd 7911	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
51	38, 41	nnmulcld 8897	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 8862	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
53	52, 18	mulcomd 7911	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
54	50, 53	oveq12d 5854	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
55	51	nnap0d 8894	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
56	9	nnap0d 8894	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) # 0)
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8704	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2202	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
59		0p1e1 8962	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
60	59	oveq1i 5846	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
61		0z 9193	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzp1ss 9998	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
64	60, 63	eqsstrri 3170	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
65	64	sseli 3133	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
66		bcval2 10652	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
67	65, 66	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
68		ax-1cn 7837	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		npcan 8098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70	24, 68, 69	sylancl 410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71		peano2zm 9220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
72		uzid 9471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
73		peano2uz 9512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
75	70, 74	eqeltrrd 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
76		fzss2 9989	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
78		elfzmlbm 10056	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
79	77, 78	sseldd 3138	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
80		bcval2 10652	. . . 4 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
81	79, 80	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
82	81	oveq1d 5851	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2207	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1342 ∈ wcel 2135 ⊆ wss 3111 ‘cfv 5182 (class class class)co 5836 ℂcc 7742 0cc0 7744 1c1 7745 + caddc 7747 · cmul 7749 − cmin 8060 / cdiv 8559 ℕcn 8848 ℕ₀cn0 9105 ℤcz 9182 ℤ_≥cuz 9457 ...cfz 9935 !cfa 10627 Ccbc 10649

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-frec 6350 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458 df-q 9549 df-fz 9936 df-seqfrec 10371 df-fac 10628 df-bc 10650

This theorem is referenced by: bcp1nk 10664 bcpasc 10668

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