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Theorem bcm1k 10852

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1k	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

**Proof of Theorem bcm1k**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 10104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		nnuz 9637	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
3	1, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 9302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
5	4	faccld 10828	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
7		fznn0sub 10132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		nn0p1nn 9288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℕ₀)
11	10	faccld 10828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
12		elfznn 10129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
13		nnm1nn0 9290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ₀)
14		faccl 10827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
16	11, 15	nnmulcld 9039	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
17	16	nncnd 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
18	9	nncnd 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℂ)
19	12	nncnd 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
20	16	nnap0d 9036	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) # 0)
21	12	nnap0d 9036	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 # 0)
22	6, 17, 18, 19, 20, 21	divmuldivapd 8859	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
23		elfzel2 10098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
26	24, 19, 25	subsubd 8365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 − 𝐾) + 1))
27	26	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
28	27	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
29	28	oveq2d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
30	26	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾))
31	29, 30	oveq12d 5940	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁 − 𝐾) + 1) / 𝐾)))
32		facp1 10822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
33	7, 32	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)))
34	33	eqcomd 2202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
35		facnn2 10826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
37	34, 36	oveq12d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
38	7	faccld 10828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
39	38	nncnd 9004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
40	12	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
41	40	faccld 10828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nncnd 9004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
43	39, 42, 18	mul32d 8179	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
44	11	nncnd 9004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
45	15	nncnd 9004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45, 19	mulassd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
47	37, 43, 46	3eqtr4d 2239	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
48	47	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
49	22, 31, 48	3eqtr4d 2239	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))))
50	6, 18	mulcomd 8048	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
51	38, 41	nnmulcld 9039	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
52	51	nncnd 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
53	52, 18	mulcomd 8048	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
54	50, 53	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁 − 𝐾) + 1))) = ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))))
55	51	nnap0d 9036	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) # 0)
56	9	nnap0d 9036	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) # 0)
57	6, 52, 18, 55, 56	divcanap5d 8844	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁 − 𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁 − 𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
58	49, 54, 57	3eqtrrd 2234	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
59		0p1e1 9104	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
60	59	oveq1i 5932	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
61		0z 9337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzp1ss 10148	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
64	60, 63	eqsstrri 3216	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
65	64	sseli 3179	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
66		bcval2 10842	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
67	65, 66	syl 14	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
68		ax-1cn 7972	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
69		npcan 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
70	24, 68, 69	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71		peano2zm 9364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
72		uzid 9615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
73		peano2uz 9657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
74	23, 71, 72, 73	4syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
75	70, 74	eqeltrrd 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)))
76		fzss2 10139	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
77	75, 76	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
78		elfzmlbm 10206	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
79	77, 78	sseldd 3184	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
80		bcval2 10842	. . . 4 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
81	79, 80	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
82	81	oveq1d 5937	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
83	58, 67, 82	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ⊆ wss 3157 ‘cfv 5258 (class class class)co 5922 ℂcc 7877 0cc0 7879 1c1 7880 + caddc 7882 · cmul 7884 − cmin 8197 / cdiv 8699 ℕcn 8990 ℕ₀cn0 9249 ℤcz 9326 ℤ_≥cuz 9601 ...cfz 10083 !cfa 10817 Ccbc 10839

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-fz 10084 df-seqfrec 10540 df-fac 10818 df-bc 10840

This theorem is referenced by: bcp1nk 10854 bcpasc 10858

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