ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcm1k GIF version

Theorem bcm1k 10740
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐พ decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 10029 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2 nnuz 9563 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
31, 2eleqtrrdi 2271 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
43nnnn0d 9229 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
54faccld 10716 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
65nncnd 8933 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7 fznn0sub 10057 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
8 nn0p1nn 9215 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
97, 8syl 14 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 9229 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•0)
1110faccld 10716 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„•)
12 elfznn 10054 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
13 nnm1nn0 9217 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
14 faccl 10715 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1512, 13, 143syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
1611, 15nnmulcld 8968 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•)
1716nncnd 8933 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
189nncnd 8933 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„‚)
1912nncnd 8933 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2016nnap0d 8965 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) # 0)
2112nnap0d 8965 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ # 0)
226, 17, 18, 19, 20, 21divmuldivapd 8789 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
23 elfzel2 10023 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423zcnd 9376 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 7973 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2624, 19, 25subsubd 8296 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
2726fveq2d 5520 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
2827oveq1d 5890 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))))
2928oveq2d 5891 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
3026oveq1d 5890 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ))
3129, 30oveq12d 5893 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) / ๐พ)))
32 facp1 10710 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
337, 32syl 14 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
3433eqcomd 2183 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
35 facnn2 10714 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
3612, 35syl 14 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) = ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ))
3734, 36oveq12d 5893 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
387faccld 10716 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
3938nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
4012nnnn0d 9229 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4140faccld 10716 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4241nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
4339, 42, 18mul32d 8110 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜๐พ)))
4411nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
4515nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
4644, 45, 19mulassd 7981 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ) = ((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท ((!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐พ)))
4737, 43, 463eqtr4d 2220 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ))
4847oveq2d 5891 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1))) ยท ๐พ)))
4922, 31, 483eqtr4d 2220 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))))
506, 18mulcomd 7979 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)))
5138, 41nnmulcld 8968 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
5251nncnd 8933 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„‚)
5352, 18mulcomd 7979 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
5450, 53oveq12d 5893 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) / (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
5551nnap0d 8965 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) # 0)
569nnap0d 8965 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) # 0)
576, 52, 18, 55, 56divcanap5d 8774 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท (!โ€˜๐‘)) / (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) ยท ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
5849, 54, 573eqtrrd 2215 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
59 0p1e1 9033 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
6059oveq1i 5885 . . . . 5 ((0 + 1)...๐‘) = (1...๐‘)
61 0z 9264 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
62 fzp1ss 10073 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 + 1)...๐‘) โŠ† (0...๐‘))
6361, 62ax-mp 5 . . . . 5 ((0 + 1)...๐‘) โŠ† (0...๐‘)
6460, 63eqsstrri 3189 . . . 4 (1...๐‘) โŠ† (0...๐‘)
6564sseli 3152 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
66 bcval2 10730 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
6765, 66syl 14 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
68 ax-1cn 7904 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
69 npcan 8166 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
7024, 68, 69sylancl 413 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
71 peano2zm 9291 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
72 uzid 9542 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
73 peano2uz 9583 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7423, 71, 72, 734syl 18 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
7570, 74eqeltrrd 2255 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)))
76 fzss2 10064 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
7775, 76syl 14 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘))
78 elfzmlbm 10131 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
7977, 78sseldd 3157 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘))
80 bcval2 10730 . . . 4 ((๐พ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8179, 80syl 14 . . 3 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))))
8281oveq1d 5890 . 2 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) ยท (!โ€˜(๐พ โˆ’ 1)))) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
8358, 67, 823eqtr4d 2220 1 (๐พ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((๐‘C(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โŠ† wss 3130  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  ...cfz 10008  !cfa 10705  Ccbc 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-fz 10009  df-seqfrec 10446  df-fac 10706  df-bc 10728
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10742  bcpasc  10746
  Copyright terms: Public domain W3C validator