Theorem bernneq 10538

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
2	1	oveq2d 5840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3		oveq2 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6		oveq2 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
7	6	oveq2d 5840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8		oveq2 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
17	16	oveq2d 5840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18		oveq2 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21		recn 7865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mul01 8264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 5840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 8949	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26		1le1 8447	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 7825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 7857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30		exp0 10423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
32	26, 31	breqtrrid 4002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 3986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
35	34	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36		1re 7877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 9099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 7860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 7858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		readdcl 7858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46		readdcl 7858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 7908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 10436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 7908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55		remulcl 7860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	55	anidms 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57		msqge0 8491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
58	56, 57	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59		nn0ge0 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 8494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
63	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64		nn0cn 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 8028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
67	62, 66	breqtrd 3990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 7908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 8408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73		mulcl 7859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 7857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 7898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 7900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79		muladd11 8008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
80	73, 76, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
81	78, 80	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
82	21, 64, 81	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
83	72, 82	breqtrd 3990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
84	83	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
85	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88		neg1rr 8939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 8306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91		1pneg1e0 8944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
93	90, 92	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
94	93	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
95	94	ad2ant2r 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 8810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 7999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99		adddi 7864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101		mulid1 7875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102	101	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103	102	oveq2d 5840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104	100, 103	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105	104	oveq2d 5840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106		addass 7862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
107	27, 106	mp3an1 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
108	73, 76, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
109	105, 108	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
110	21, 64, 109	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111	110	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
112	27, 21, 28	sylancr 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
113		expp1 10426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114	112, 113	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115	114	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
116	98, 111, 115	3brtr4d 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
117	116	exp43 370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
119	118	impd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120	119	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
122	121	expd 256	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
123	122	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
124	123	3imp 1176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  ℝcr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   ≤ cle 7913  -cneg 8047  ℕ₀cn0 9090  ↑cexp 10418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345  df-exp 10419

This theorem is referenced by:  bernneq2  10539