Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq2 5832 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0)) |
2 | 1 | oveq2d 5840 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0))) |
3 | | oveq2 5832 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0)) |
4 | 2, 3 | breq12d 3978 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))) |
5 | 4 | imbi2d 229 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))) |
6 | | oveq2 5832 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘)) |
7 | 6 | oveq2d 5840 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘))) |
8 | | oveq2 5832 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘)) |
9 | 7, 8 | breq12d 3978 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) |
10 | 9 | imbi2d 229 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))) |
11 | | oveq2 5832 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1))) |
12 | 11 | oveq2d 5840 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1)))) |
13 | | oveq2 5832 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))) |
14 | 12, 13 | breq12d 3978 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))) |
15 | 14 | imbi2d 229 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
16 | | oveq2 5832 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁)) |
17 | 16 | oveq2d 5840 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁))) |
18 | | oveq2 5832 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁)) |
19 | 17, 18 | breq12d 3978 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))) |
20 | 19 | imbi2d 229 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))) |
21 | | recn 7865 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) |
22 | | mul01 8264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) =
0) |
23 | 22 | oveq2d 5840 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) = (1 +
0)) |
24 | | 1p0e1 8949 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1 + 0) =
1 |
25 | 23, 24 | eqtrdi 2206 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) =
1) |
26 | | 1le1 8447 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ≤
1 |
27 | | ax-1cn 7825 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℂ |
28 | | addcl 7857 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ) |
29 | 27, 28 | mpan 421 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
𝐴) ∈
ℂ) |
30 | | exp0 10423 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1 +
𝐴) ∈ ℂ →
((1 + 𝐴)↑0) =
1) |
31 | 29, 30 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 +
𝐴)↑0) =
1) |
32 | 26, 31 | breqtrrid 4002 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤
((1 + 𝐴)↑0)) |
33 | 25, 32 | eqbrtrd 3986 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 +
(𝐴 · 0)) ≤ ((1 +
𝐴)↑0)) |
34 | 21, 33 | syl 14 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
(𝐴 · 0)) ≤ ((1 +
𝐴)↑0)) |
35 | 34 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤
𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)) |
36 | | 1re 7877 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℝ |
37 | | nn0re 9099 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℝ) |
38 | | remulcl 7860 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) |
39 | 37, 38 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴 · 𝑘) ∈
ℝ) |
40 | | readdcl 7858 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℝ)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℝ) |
41 | 36, 39, 40 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℝ) |
42 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
43 | | readdcl 7858 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
44 | 41, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
45 | 44 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ) |
46 | | readdcl 7858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ) |
47 | 36, 46 | mpan 421 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
𝐴) ∈
ℝ) |
48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + 𝐴) ∈
ℝ) |
49 | 41, 48 | remulcld 7908 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈
ℝ) |
50 | 49 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ) |
51 | | reexpcl 10436 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((1 +
𝐴) ∈ ℝ ∧
𝑘 ∈
ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ) |
52 | 47, 51 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈
ℝ) |
53 | 52, 48 | remulcld 7908 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈
ℝ) |
54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ) |
55 | | remulcl 7860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) |
56 | 55 | anidms 395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ) |
57 | | msqge0 8491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤
(𝐴 · 𝐴)) |
58 | 56, 57 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))) |
59 | | nn0ge0 9115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑘) |
60 | 37, 59 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 ∈ ℝ
∧ 0 ≤ 𝑘)) |
61 | | mulge0 8494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘)) |
62 | 58, 60, 61 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 0 ≤ ((𝐴 ·
𝐴) · 𝑘)) |
63 | 21 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
64 | | nn0cn 9100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
65 | 64 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
66 | 63, 63, 65 | mul32d 8028 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) |
67 | 62, 66 | breqtrd 3990 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 0 ≤ ((𝐴 ·
𝑘) · 𝐴)) |
68 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) |
69 | 38, 68 | remulcld 7908 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ) |
70 | 37, 69 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ) |
71 | 44, 70 | addge01d 8408 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (0 ≤ ((𝐴 ·
𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
72 | 67, 71 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))) |
73 | | mulcl 7859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) |
74 | | addcl 7857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℂ)
→ (1 + (𝐴 ·
𝑘)) ∈
ℂ) |
75 | 27, 73, 74 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ∈
ℂ) |
76 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
77 | 73, 76 | mulcld 7898 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ) |
78 | 75, 76, 77 | addassd 7900 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
79 | | muladd11 8008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
80 | 73, 76, 79 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))) |
81 | 78, 80 | eqtr4d 2193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
82 | 21, 64, 81 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
83 | 72, 82 | breqtrd 3990 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴))) |
85 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ) |
86 | 52 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ) |
87 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ) |
88 | | neg1rr 8939 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -1 ∈
ℝ |
89 | | leadd2 8306 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((-1
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴))) |
90 | 88, 36, 89 | mp3an13 1310 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤
𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 +
𝐴))) |
91 | | 1pneg1e0 8944 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 + -1)
= 0 |
92 | 91 | breq1i 3972 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1 + -1)
≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤
(1 + 𝐴)) |
93 | 90, 92 | bitrdi 195 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤
𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))) |
94 | 93 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤
𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴)) |
95 | 94 | ad2ant2r 501 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴)) |
96 | | simprr 522 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) |
97 | 85, 86, 87, 95, 96 | lemul1ad 8810 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
98 | 45, 50, 54, 84, 97 | letrd 7999 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
99 | | adddi 7864 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝐴 ·
(𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1))) |
100 | 27, 99 | mp3an3 1308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1))) |
101 | | mulid1 7875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
102 | 101 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
103 | 102 | oveq2d 5840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) |
104 | 100, 103 | eqtrd 2190 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) |
105 | 104 | oveq2d 5840 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
106 | | addass 7862 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐴
· 𝑘) ∈ ℂ
∧ 𝐴 ∈ ℂ)
→ ((1 + (𝐴 ·
𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
107 | 27, 106 | mp3an1 1306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
108 | 73, 76, 107 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 +
(𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))) |
109 | 105, 108 | eqtr4d 2193 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 +
(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
110 | 21, 64, 109 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 + (𝐴 ·
(𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
111 | 110 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴)) |
112 | 27, 21, 28 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 +
𝐴) ∈
ℂ) |
113 | | expp1 10426 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((1 +
𝐴) ∈ ℂ ∧
𝑘 ∈
ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
114 | 112, 113 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
115 | 114 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴))) |
116 | 98, 111, 115 | 3brtr4d 3996 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 +
(𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))) |
117 | 116 | exp43 370 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0
→ (-1 ≤ 𝐴 →
((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))) |
118 | 117 | com12 30 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
→ (-1 ≤ 𝐴 →
((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))) |
119 | 118 | impd 252 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1
+ (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
120 | 119 | a2d 26 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))) |
121 | 5, 10, 15, 20, 35, 120 | nn0ind 9278 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ ℝ
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))) |
122 | 121 | expd 256 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
→ (-1 ≤ 𝐴 → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))) |
123 | 122 | com12 30 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0
→ (-1 ≤ 𝐴 → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))) |
124 | 123 | 3imp 1176 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ -1 ≤ 𝐴) → (1
+ (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)) |