Theorem bernneq 11047

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
2	1	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 0)))
3		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))))
6		oveq2 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
7	6	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑘)))
8		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
17	16	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (𝐴 · 𝑗)) = (1 + (𝐴 · 𝑁)))
18		oveq2 6066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + 𝐴)↑𝑗) = ((1 + 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗) ↔ (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑗)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
21		recn 8276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mul01 8679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 9370	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) = 1)
26		1le1 8863	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 8268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
30		exp0 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 𝐴) ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴)↑0) = 1)
32	26, 31	breqtrrid 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
35	34	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 0)) ≤ ((1 + 𝐴)↑0))
36		1re 8289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 8271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
43		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ∈ ℝ)
46		readdcl 8269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 10942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
55		remulcl 8271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
56	55	anidms 397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
57		msqge0 8907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
58	56, 57	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)))
59		nn0ge0 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 8910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘))
63	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 8442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝑘) = ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
67	62, 66	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))
68		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 8824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ↔ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)))
73		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 8312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
79		muladd11 8422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
80	73, 76, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + (𝐴 + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴))))
81	78, 80	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
82	21, 64, 81	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) + ((𝐴 · 𝑘) · 𝐴)) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
83	72, 82	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)))
85	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
88		neg1rr 9360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 8722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ (1 + -1) ≤ (1 + 𝐴)))
91		1pneg1e0 9365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + 𝐴) ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴))
93	90, 92	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (1 + 𝐴)))
94	93	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
95	94	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + 𝐴))
96		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 9230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) · (1 + 𝐴)) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 8413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) ≤ (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
99		adddi 8275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
101		mulrid 8287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
102	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
103	102	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
104	100, 103	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
105	104	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
106		addass 8273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
107	27, 106	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
108	73, 76, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴) = (1 + ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
109	105, 108	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
110	21, 64, 109	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
111	110	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((1 + (𝐴 · 𝑘)) + 𝐴))
112	27, 21, 28	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
113		expp1 10932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
114	112, 113	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
115	114	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + 𝐴)↑𝑘) · (1 + 𝐴)))
116	98, 111, 115	3brtr4d 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ 𝐴 ∧ (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘))) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))
117	116	exp43 372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1))))))
119	118	impd 254	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → ((1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
120	119	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑘)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + 𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 9710	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁)))
122	121	expd 258	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
123	122	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ 𝐴 → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))))
124	123	3imp 1220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ 𝐴) → (1 + (𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   ≤ cle 8325  -cneg 8461  ℕ₀cn0 9513  ↑cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  bernneq2  11048