ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom3 GIF version

Theorem binom3 10638
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 8979 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 5886 . . 3 ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1))
3 addcl 7936 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 2nn0 9193 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
5 expp1 10527 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
63, 4, 5sylancl 413 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(2 + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
72, 6eqtrid 2222 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)))
8 sqcl 10581 . . . . 5 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
93, 8syl 14 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 simpl 109 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simpr 110 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
129, 10, 11adddid 7982 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต)))
13 binom2 10632 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
1413oveq1d 5890 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด))
15 sqcl 10581 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 2cn 8990 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
18 mulcl 7938 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
19 mulcl 7938 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2116, 20addcld 7977 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
22 sqcl 10581 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2311, 22syl 14 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2421, 23, 10adddird 7983 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ด) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด)))
2516, 20, 10adddird 7983 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด)))
261oveq2i 5886 . . . . . . . . 9 (๐ดโ†‘3) = (๐ดโ†‘(2 + 1))
27 expp1 10527 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
2810, 4, 27sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘(2 + 1)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
2926, 28eqtrid 2222 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด))
30 sqval 10578 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3231oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ต))
3310, 10, 11mul32d 8110 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด))
3432, 33eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด))
3534oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
36 2cnd 8992 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3736, 18, 10mulassd 7981 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ด)))
3835, 37eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด))
3929, 38oveq12d 5893 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ด) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ด)))
4025, 39eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
4123, 10mulcomd 7979 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
4240, 41oveq12d 5893 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ด) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ด)) = (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))))
4314, 24, 423eqtrd 2214 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))))
4413oveq1d 5890 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต))
4521, 23, 11adddird 7983 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ต) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
46 sqval 10578 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ต ยท ๐ต))
4847oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ต)))
4910, 11, 11mulassd 7981 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ต)))
5048, 49eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต))
5150oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
5236, 18, 11mulassd 7981 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต) = (2 ยท ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ต)))
5351, 52eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต))
5453oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต)))
5516, 20, 11adddird 7983 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ต)))
5654, 55eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต))
571oveq2i 5886 . . . . . . . 8 (๐ตโ†‘3) = (๐ตโ†‘(2 + 1))
58 expp1 10527 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
5911, 4, 58sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘(2 + 1)) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
6057, 59eqtrid 2222 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) = ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต))
6156, 60oveq12d 5893 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)))
6216, 11mulcld 7978 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6310, 23mulcld 7978 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
64 mulcl 7938 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
6517, 63, 64sylancr 414 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
66 3nn0 9194 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
67 expcl 10538 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6811, 66, 67sylancl 413 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6962, 65, 68addassd 7980 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7061, 69eqtr3d 2212 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ต) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ต)) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7144, 45, 703eqtrd 2214 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
7243, 71oveq12d 5893 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
73 expcl 10538 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
7410, 66, 73sylancl 413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
75 mulcl 7938 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7617, 62, 75sylancr 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
7774, 76addcld 7977 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
7865, 68addcld 7977 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
7977, 63, 62, 78add4d 8126 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2214 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))))
8174, 76, 62addassd 7980 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) + ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
821oveq1i 5885 . . . . . . 7 (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 + 1) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))
83 1cnd 7973 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8436, 83, 62adddird 7983 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 + 1) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
8582, 84eqtrid 2222 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
8662mulid2d 7976 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))
8786oveq2d 5891 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + (1 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)))
8885, 87eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)))
8988oveq2d 5891 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘3) + ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
9081, 89eqtr4d 2213 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) = ((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))))
91 1p2e3 9053 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 5885 . . . . . . 7 ((1 + 2) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
9383, 36, 63adddird 7983 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + 2) ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9492, 93eqtr3id 2224 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9563mulid2d 7976 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))
9695oveq1d 5890 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9794, 96eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))))
9897oveq1d 5890 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)) = (((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)))
9963, 65, 68addassd 7980 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2)))) + (๐ตโ†‘3)) = ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
10098, 99eqtr2d 2211 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))
10190, 100oveq12d 5893 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (2 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต)) + ((๐ด ยท (๐ตโ†‘2)) + ((2 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3)))) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2214 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816  2c2 8970  3c3 8971  โ„•0cn0 9176  โ†‘cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  binom4  14400
  Copyright terms: Public domain W3C validator