ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom3 GIF version

Theorem binom3 10623
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 8968 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 5880 . . 3 ((𝐴 + 𝐵)↑3) = ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1))
3 addcl 7927 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 2nn0 9182 . . . 4 2 ∈ ℕ0
5 expp1 10513 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
63, 4, 5sylancl 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
72, 6eqtrid 2222 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
8 sqcl 10567 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
93, 8syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simpr 110 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
129, 10, 11adddid 7972 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)))
13 binom2 10617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
1413oveq1d 5884 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴))
15 sqcl 10567 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17 2cn 8979 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
18 mulcl 7929 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19 mulcl 7929 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2116, 20addcld 7967 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22 sqcl 10567 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2421, 23, 10adddird 7973 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)))
2516, 20, 10adddird 7973 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
261oveq2i 5880 . . . . . . . . 9 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
27 expp1 10513 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2810, 4, 27sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2926, 28eqtrid 2222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
30 sqval 10564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3231oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
3310, 10, 11mul32d 8100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3432, 33eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3534oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
36 2cnd 8981 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
3736, 18, 10mulassd 7971 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
3835, 37eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴))
3929, 38oveq12d 5887 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
4025, 39eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
4123, 10mulcomd 7969 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
4240, 41oveq12d 5887 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4314, 24, 423eqtrd 2214 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4413oveq1d 5884 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵))
4521, 23, 11adddird 7973 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
46 sqval 10564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4847oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
4910, 11, 11mulassd 7971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
5048, 49eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵))
5150oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5236, 18, 11mulassd 7971 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5351, 52eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵))
5453oveq2d 5885 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5516, 20, 11adddird 7973 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5654, 55eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵))
571oveq2i 5880 . . . . . . . 8 (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
58 expp1 10513 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
5911, 4, 58sylancl 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6057, 59eqtrid 2222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6156, 60oveq12d 5887 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
6216, 11mulcld 7968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6310, 23mulcld 7968 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
64 mulcl 7929 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
6517, 63, 64sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
66 3nn0 9183 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
67 expcl 10524 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6811, 66, 67sylancl 413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6962, 65, 68addassd 7970 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7061, 69eqtr3d 2212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7144, 45, 703eqtrd 2214 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7243, 71oveq12d 5887 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
73 expcl 10524 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
7410, 66, 73sylancl 413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
75 mulcl 7929 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7617, 62, 75sylancr 414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7774, 76addcld 7967 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
7865, 68addcld 7967 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
7977, 63, 62, 78add4d 8116 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2214 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8174, 76, 62addassd 7970 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
821oveq1i 5879 . . . . . . 7 (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵))
83 1cnd 7964 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8436, 83, 62adddird 7973 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8582, 84eqtrid 2222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8662mulid2d 7966 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
8786oveq2d 5885 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8885, 87eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8988oveq2d 5885 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
9081, 89eqtr4d 2213 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
91 1p2e3 9042 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 5879 . . . . . . 7 ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑2)))
9383, 36, 63adddird 7973 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9492, 93eqtr3id 2224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9563mulid2d 7966 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
9695oveq1d 5884 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9794, 96eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9897oveq1d 5884 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)))
9963, 65, 68addassd 7970 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10098, 99eqtr2d 2211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))
10190, 100oveq12d 5887 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2214 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5869  cc 7800  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  2c2 8959  3c3 8960  0cn0 9165  cexp 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506
This theorem is referenced by:  binom4  14064
  Copyright terms: Public domain W3C validator