binom3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem binom3 10918

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
binom3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))

**Proof of Theorem binom3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 9202	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 6028	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑3) = ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1))
3		addcl 8156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		2nn0 9418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
5		expp1 10807	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
7	2, 6	eqtrid 2276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
8		sqcl 10861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
9	3, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	adddid 8203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)))
13		binom2 10912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
14	13	oveq1d 6032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴))
15		sqcl 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17		2cn 9213	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		mulcl 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19		mulcl 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
21	16, 20	addcld 8198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22		sqcl 10861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	21, 23, 10	adddird 8204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)))
25	16, 20, 10	adddird 8204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
26	1	oveq2i 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
27		expp1 10807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
28	10, 4, 27	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
29	26, 28	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
30		sqval 10858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
32	31	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
33	10, 10, 11	mul32d 8331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
34	32, 33	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
35	34	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
36		2cnd 9215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
37	36, 18, 10	mulassd 8202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
38	35, 37	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴))
39	29, 38	oveq12d 6035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
40	25, 39	eqtr4d 2267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
41	23, 10	mulcomd 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
42	40, 41	oveq12d 6035	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
43	14, 24, 42	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
44	13	oveq1d 6032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵))
45	21, 23, 11	adddird 8204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
46		sqval 10858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
48	47	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
49	10, 11, 11	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
50	48, 49	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵))
51	50	oveq2d 6033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
52	36, 18, 11	mulassd 8202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
53	51, 52	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵))
54	53	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
55	16, 20, 11	adddird 8204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
56	54, 55	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵))
57	1	oveq2i 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
58		expp1 10807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
59	11, 4, 58	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
60	57, 59	eqtrid 2276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
61	56, 60	oveq12d 6035	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
62	16, 11	mulcld 8199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
63	10, 23	mulcld 8199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
64		mulcl 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
65	17, 63, 64	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
66		3nn0 9419	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
67		expcl 10818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
68	11, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
69	62, 65, 68	addassd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
70	61, 69	eqtr3d 2266	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
71	44, 45, 70	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
72	43, 71	oveq12d 6035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
73		expcl 10818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
74	10, 66, 73	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
75		mulcl 8158	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
76	17, 62, 75	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
77	74, 76	addcld 8198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
78	65, 68	addcld 8198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
79	77, 63, 62, 78	add4d 8347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
80	12, 72, 79	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
81	74, 76, 62	addassd 8201	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
82	1	oveq1i 6027	. . . . . . 7 ⊢ (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵))
83		1cnd 8194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
84	36, 83, 62	adddird 8204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
85	82, 84	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
86	62	mulid2d 8197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
87	86	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
88	85, 87	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
89	88	oveq2d 6033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
90	81, 89	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
91		1p2e3 9277	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
92	91	oveq1i 6027	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑2)))
93	83, 36, 63	adddird 8204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
94	92, 93	eqtr3id 2278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
95	63	mulid2d 8197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
96	95	oveq1d 6032	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
97	94, 96	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
98	97	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)))
99	63, 65, 68	addassd 8201	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
100	98, 99	eqtr2d 2265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))
101	90, 100	oveq12d 6035	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
102	7, 80, 101	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1397 ∈ wcel 2202 (class class class)co 6017 ℂcc 8029 1c1 8032 + caddc 8034 · cmul 8036 2c2 9193 3c3 9194 ℕ₀cn0 9401 ↑cexp 10799

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-seqfrec 10709 df-exp 10800

This theorem is referenced by: binom4 15702

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