ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divgcdcoprm0 GIF version

Theorem divgcdcoprm0 12114
Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divgcdcoprm0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)

Proof of Theorem divgcdcoprm0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcddvds 11977 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
213adant3 1018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
3 gcdcl 11980 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
43nn0zd 9386 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
64, 5jca 306 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
763adant3 1018 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
8 divides 11809 . . . . 5 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด))
97, 8syl 14 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด))
10 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
114, 10jca 306 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
12113adant3 1018 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
13 divides 11809 . . . . 5 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต))
1412, 13syl 14 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต))
159, 14anbi12d 473 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต)))
16 bezout 12025 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)))
17163adant3 1018 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)))
18 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) = (๐ด ยท ๐‘š))
19 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›) = (๐ต ยท ๐‘›))
2018, 19oveqan12rd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด) โ†’ (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›)) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)))
2120eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›))))
2221bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›))))
23 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
2423zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
2524adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
263nn0cnd 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27263adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2827ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
29 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
3029zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3225, 28, 31mul32d 8123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)))
33 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3433zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3534adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3736zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
3837ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
3935, 28, 38mul32d 8123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›) = ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)))
4032, 39oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›)) = (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))))
4140eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)))))
4223adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
4329ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
4442, 43zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘š) โˆˆ โ„ค)
4543adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
4645ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
4744, 46zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
4833adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4936ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5048, 49zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
5133adant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5251ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5352nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
5450, 53zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
5547, 54zaddcld 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
5655zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
57 gcd2n0cl 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
58 nncn 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
59 nnap0 8961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด gcd ๐ต) # 0)
6058, 59jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0))
6157, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0))
6261ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0))
63 div11ap 8670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0)) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)))))
6428, 56, 62, 63syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)))))
65 dividap 8671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1)
6662, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1)
6747zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
6854zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
69 divdirap 8667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0)) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต)) + (((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต))))
7067, 68, 62, 69syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต)) + (((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต))))
7144zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
7251nn0cnd 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
7372ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
7462simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) # 0)
7571, 73, 74divcanap4d 8766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘Ž ยท ๐‘š))
7650zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7776, 28, 74divcanap4d 8766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ ยท ๐‘›))
7875, 77oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต)) + (((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต)) / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)))
7970, 78eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)))
8066, 79eqeq12d 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((((๐‘Ž ยท ๐‘š) ยท (๐ด gcd ๐ต)) + ((๐‘ ยท ๐‘›) ยท (๐ด gcd ๐ต))) / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” 1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›))))
8141, 64, 803bitr2d 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = (((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘š) + ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) ยท ๐‘›)) โ†” 1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›))))
8222, 81sylan9bbr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†” 1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›))))
83 eqcom 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) = 1)
84 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค))
8584anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)))
8685ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)))
87 bezoutr1 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) = 1 โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8886, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) = 1 โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
8988adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) = 1 โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
9083, 89biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ (1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = 1))
91 simpll1 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
9291zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
93 divmulap3 8647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โ†” ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต))))
9492, 25, 62, 93syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž โ†” ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต))))
95 eqcom 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Ž = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘Ž)
96 eqcom 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†” ๐ด = (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)))
9794, 95, 963bitr4g 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ž = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด))
9897biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ๐‘Ž = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))))
9998a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ๐‘Ž = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)))))
10099imp32 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ ๐‘Ž = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)))
101 simp2 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
102101zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
104 divmulap3 8647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด gcd ๐ต) # 0)) โ†’ ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘ โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต))))
105103, 35, 62, 104syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘ โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต))))
106 eqcom 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = ๐‘)
107 eqcom 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†” ๐ต = (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)))
108105, 106, 1073bitr4g 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต))
109108biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ๐‘ = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
110109a1dd 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ๐‘ = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)))))
111110imp32 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ ๐‘ = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)))
112100, 111oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) = ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
113112eqeq1d 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ ((๐‘Ž gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))
11490, 113sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ (1 = ((๐‘Ž ยท ๐‘š) + (๐‘ ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))
11582, 114sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))
116115exp32 365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))))
117116com34 83 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))))
118117com23 78 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))))
119118ex 115 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))))
120119com23 78 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))))
121120rexlimdvva 2612 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘š) + (๐ต ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))))
12217, 121mpd 13 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))))
123122impl 380 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))
124123rexlimdva 2604 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))
125124com23 78 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))
126125rexlimdva 2604 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)))
127126impd 254 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (๐ด gcd ๐ต)) = ๐ต) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))
12815, 127sylbid 150 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1))
1292, 128mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   # cap 8551   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807   gcd cgcd 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957
This theorem is referenced by:  divgcdcoprmex  12115
  Copyright terms: Public domain W3C validator