divgcdcoprm0 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem divgcdcoprm0 12589

Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
divgcdcoprm0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Proof of Theorem divgcdcoprm0 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 12450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2	1	3adant3 1022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3		gcdcl 12453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
4	3	nn0zd 9535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
7	6	3adant3 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8		divides 12266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	4, 10	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12	11	3adant3 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		divides 12266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
15	9, 14	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵)))
16		bezout 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
17	16	3adant3 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
18		oveq1 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = (𝐴 · 𝑚))
19		oveq1 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = (𝐵 · 𝑛))
20	18, 19	oveqan12rd 5994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
21	20	eqeq2d 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛))))
22	21	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛))))
23		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	3	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
29		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
30	29	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	mul32d 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)))
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
39	35, 28, 38	mul32d 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))
40	32, 39	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))))
41	40	eqeq2d 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
42	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
43	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	42, 43	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℤ)
45	4	3adant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
47	44, 46	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
48	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
49	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
50	48, 49	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℤ)
51	3	3adant3 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 9535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
54	50, 53	zmulcld 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
55	47, 54	zaddcld 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ)
57		gcd2n0cl 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
58		nncn 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
59		nnap0 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) # 0)
60	58, 59	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0))
61	57, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0))
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0))
63		div11ap 8815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
64	28, 56, 62, 63	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
65		dividap 8816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
66	62, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
67	47	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
68	54	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
69		divdirap 8812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
70	67, 68, 62, 69	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
71	44	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℂ)
72	51	nn0cnd 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
73	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
74	62	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) # 0)
75	71, 73, 74	divcanap4d 8911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑎 · 𝑚))
76	50	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℂ)
77	76, 28, 74	divcanap4d 8911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑏 · 𝑛))
78	75, 77	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
79	70, 78	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
80	66, 79	eqeq12d 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
81	41, 64, 80	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
82	22, 81	sylan9bbr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
83		eqcom 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) ↔ ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1)
84		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
85	84	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)))
86	85	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
87		bezoutr1 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
90	83, 89	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
91		simpll1 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
92	91	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
93		divmulap3 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
94	92, 25, 62, 93	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
95		eqcom 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎)
96		eqcom 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)))
97	94, 95, 96	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
98	97	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
99	98	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
100	99	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
101		simp2 1003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
102	101	zcnd 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
103	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
104		divmulap3 8792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
105	103, 35, 62, 104	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
106		eqcom 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏)
107		eqcom 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)))
108	105, 106, 107	3bitr4g 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
109	108	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
110	109	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
111	110	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
112	100, 111	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (𝑎 gcd 𝑏) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
113	112	eqeq1d 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
114	90, 113	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
115	82, 114	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
116	115	exp32 365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
117	116	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
118	117	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
119	118	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
120	119	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
121	120	rexlimdvva 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
122	17, 121	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
123	122	impl 380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
124	123	rexlimdva 2628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
125	124	com23 78	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
126	125	rexlimdva 2628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
127	126	impd 254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
128	15, 127	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
129	2, 128	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 983 = wceq 1375 ∈ wcel 2180 ≠ wne 2380 ∃wrex 2489 class class class wbr 4062 (class class class)co 5974 ℂcc 7965 0cc0 7967 1c1 7968 + caddc 7970 · cmul 7972 # cap 8696 / cdiv 8787 ℕcn 9078 ℕ₀cn0 9337 ℤcz 9414 ∥ cdvds 12264 gcd cgcd 12440

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 713 ax-5 1473 ax-7 1474 ax-gen 1475 ax-ie1 1519 ax-ie2 1520 ax-8 1530 ax-10 1531 ax-11 1532 ax-i12 1533 ax-bndl 1535 ax-4 1536 ax-17 1552 ax-i9 1556 ax-ial 1560 ax-i5r 1561 ax-13 2182 ax-14 2183 ax-ext 2191 ax-coll 4178 ax-sep 4181 ax-nul 4189 ax-pow 4237 ax-pr 4272 ax-un 4501 ax-setind 4606 ax-iinf 4657 ax-cnex 8058 ax-resscn 8059 ax-1cn 8060 ax-1re 8061 ax-icn 8062 ax-addcl 8063 ax-addrcl 8064 ax-mulcl 8065 ax-mulrcl 8066 ax-addcom 8067 ax-mulcom 8068 ax-addass 8069 ax-mulass 8070 ax-distr 8071 ax-i2m1 8072 ax-0lt1 8073 ax-1rid 8074 ax-0id 8075 ax-rnegex 8076 ax-precex 8077 ax-cnre 8078 ax-pre-ltirr 8079 ax-pre-ltwlin 8080 ax-pre-lttrn 8081 ax-pre-apti 8082 ax-pre-ltadd 8083 ax-pre-mulgt0 8084 ax-pre-mulext 8085 ax-arch 8086 ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 839 df-3or 984 df-3an 985 df-tru 1378 df-fal 1381 df-nf 1487 df-sb 1789 df-eu 2060 df-mo 2061 df-clab 2196 df-cleq 2202 df-clel 2205 df-nfc 2341 df-ne 2381 df-nel 2476 df-ral 2493 df-rex 2494 df-reu 2495 df-rmo 2496 df-rab 2497 df-v 2781 df-sbc 3009 df-csb 3105 df-dif 3179 df-un 3181 df-in 3183 df-ss 3190 df-nul 3472 df-if 3583 df-pw 3631 df-sn 3652 df-pr 3653 df-op 3655 df-uni 3868 df-int 3903 df-iun 3946 df-br 4063 df-opab 4125 df-mpt 4126 df-tr 4162 df-id 4361 df-po 4364 df-iso 4365 df-iord 4434 df-on 4436 df-ilim 4437 df-suc 4439 df-iom 4660 df-xp 4702 df-rel 4703 df-cnv 4704 df-co 4705 df-dm 4706 df-rn 4707 df-res 4708 df-ima 4709 df-iota 5254 df-fun 5296 df-fn 5297 df-f 5298 df-f1 5299 df-fo 5300 df-f1o 5301 df-fv 5302 df-riota 5927 df-ov 5977 df-oprab 5978 df-mpo 5979 df-1st 6256 df-2nd 6257 df-recs 6421 df-frec 6507 df-sup 7119 df-pnf 8151 df-mnf 8152 df-xr 8153 df-ltxr 8154 df-le 8155 df-sub 8287 df-neg 8288 df-reap 8690 df-ap 8697 df-div 8788 df-inn 9079 df-2 9137 df-3 9138 df-4 9139 df-n0 9338 df-z 9415 df-uz 9691 df-q 9783 df-rp 9818 df-fz 10173 df-fzo 10307 df-fl 10457 df-mod 10512 df-seqfrec 10637 df-exp 10728 df-cj 11319 df-re 11320 df-im 11321 df-rsqrt 11475 df-abs 11476 df-dvds 12265 df-gcd 12441

This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 12590

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