Theorem nnord 4710

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Ord word 4459  Oncon0 4460  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6659  nnsucuniel  6662  nntri1  6663  nnsseleq  6668  nntr2  6670  phplem1  7037  phplem2  7038  phplem3  7039  phplem4  7040  phplem4dom  7047  nndomo  7049  1ndom2  7050  dif1en  7067  nnwetri  7107  unsnfi  7110  ctmlemr  7306  nnnninf  7324  nnnninfeq  7326  nnnninfeq2  7327  nninfisol  7331  piord  7530  addnidpig  7555  archnqq  7636  frecfzennn  10687  hashp1i  11073  ennnfonelemk  13020  ennnfonelemg  13023  ennnfonelemhf1o  13033  ennnfonelemhom  13035  ctinfom  13048  3dom  16587  nnsf  16607  peano4nninf  16608  nninfsellemeq  16616  nnnninfex  16624