Theorem nnord 4761

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4509  Oncon0 4510  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740

This theorem is used by:  nnsucsssuc  6769  nnsucuniel  6772  nntri1  6773  nnsseleq  6778  nntr2  6780  phplem1  7157  phplem2  7158  phplem3  7159  phplem4  7160  phplem4dom  7167  nndomo  7169  1ndom2  7170  dif1en  7187  nnwetri  7227  unsnfi  7230  ctmlemr  7454  nnnninf  7472  nnnninfeq  7474  nnnninfeq2  7475  nninfisol  7479  piord  7684  addnidpig  7709  archnqq  7790  frecfzennn  10884  hashp1i  11273  ennnfonelemk  13349  ennnfonelemg  13352  ennnfonelemhf1o  13362  ennnfonelemhom  13364  ctinfom  13377  3dom  17223  nnsf  17254  peano4nninf  17255  nninfsellemeq  17263  nnnninfex  17271