Theorem nnord 4649

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4647	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Ord word 4398  Oncon0 4399  ωcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6559  nnsucuniel  6562  nntri1  6563  nnsseleq  6568  nntr2  6570  phplem1  6922  phplem2  6923  phplem3  6924  phplem4  6925  phplem4dom  6932  nndomo  6934  dif1en  6949  nnwetri  6986  unsnfi  6989  ctmlemr  7183  nnnninf  7201  nnnninfeq  7203  nnnninfeq2  7204  nninfisol  7208  piord  7397  addnidpig  7422  archnqq  7503  frecfzennn  10537  hashp1i  10921  ennnfonelemk  12644  ennnfonelemg  12647  ennnfonelemhf1o  12657  ennnfonelemhom  12659  ctinfom  12672  nnsf  15760  peano4nninf  15761  nninfsellemeq  15769  nnnninfex  15777