Theorem nnord 4589

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  Ord word 4340  Oncon0 4341  ωcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6460  nnsucuniel  6463  nntri1  6464  nnsseleq  6469  nntr2  6471  phplem1  6818  phplem2  6819  phplem3  6820  phplem4  6821  phplem4dom  6828  nndomo  6830  dif1en  6845  nnwetri  6881  unsnfi  6884  ctmlemr  7073  nnnninf  7090  nnnninfeq  7092  nnnninfeq2  7093  nninfisol  7097  piord  7252  addnidpig  7277  archnqq  7358  frecfzennn  10361  hashp1i  10723  ennnfonelemk  12333  ennnfonelemg  12336  ennnfonelemhf1o  12346  ennnfonelemhom  12348  ctinfom  12361  nnsf  13885  peano4nninf  13886  nninfsellemeq  13894