Theorem nnord 4759

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4507  Oncon0 4508  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  nnsucsssuc  6765  nnsucuniel  6768  nntri1  6769  nnsseleq  6774  nntr2  6776  phplem1  7153  phplem2  7154  phplem3  7155  phplem4  7156  phplem4dom  7163  nndomo  7165  1ndom2  7166  dif1en  7183  nnwetri  7223  unsnfi  7226  ctmlemr  7448  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  nnnninfeq2  7469  nninfisol  7473  piord  7678  addnidpig  7703  archnqq  7784  frecfzennn  10863  hashp1i  11251  ennnfonelemk  13291  ennnfonelemg  13294  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemhom  13306  ctinfom  13319  3dom  17018  nnsf  17048  peano4nninf  17049  nninfsellemeq  17057  nnnninfex  17065