Theorem nnord 4612

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4610	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  Ord word 4363  Oncon0 4364  ωcom 4590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-int 3846  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6493  nnsucuniel  6496  nntri1  6497  nnsseleq  6502  nntr2  6504  phplem1  6852  phplem2  6853  phplem3  6854  phplem4  6855  phplem4dom  6862  nndomo  6864  dif1en  6879  nnwetri  6915  unsnfi  6918  ctmlemr  7107  nnnninf  7124  nnnninfeq  7126  nnnninfeq2  7127  nninfisol  7131  piord  7310  addnidpig  7335  archnqq  7416  frecfzennn  10426  hashp1i  10790  ennnfonelemk  12401  ennnfonelemg  12404  ennnfonelemhf1o  12414  ennnfonelemhom  12416  ctinfom  12429  nnsf  14757  peano4nninf  14758  nninfsellemeq  14766