Theorem nnord 4708

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Ord word 4457  Oncon0 4458  ωcom 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-tr 4186  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6655  nnsucuniel  6658  nntri1  6659  nnsseleq  6664  nntr2  6666  phplem1  7033  phplem2  7034  phplem3  7035  phplem4  7036  phplem4dom  7043  nndomo  7045  1ndom2  7046  dif1en  7061  nnwetri  7101  unsnfi  7104  ctmlemr  7298  nnnninf  7316  nnnninfeq  7318  nnnninfeq2  7319  nninfisol  7323  piord  7521  addnidpig  7546  archnqq  7627  frecfzennn  10678  hashp1i  11064  ennnfonelemk  13011  ennnfonelemg  13014  ennnfonelemhf1o  13024  ennnfonelemhom  13026  ctinfom  13039  3dom  16523  nnsf  16543  peano4nninf  16544  nninfsellemeq  16552  nnnninfex  16560