Theorem nnord 4661

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4659	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  Ord word 4410  Oncon0 4411  ωcom 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4144  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6580  nnsucuniel  6583  nntri1  6584  nnsseleq  6589  nntr2  6591  phplem1  6951  phplem2  6952  phplem3  6953  phplem4  6954  phplem4dom  6961  nndomo  6963  dif1en  6978  nnwetri  7015  unsnfi  7018  ctmlemr  7212  nnnninf  7230  nnnninfeq  7232  nnnninfeq2  7233  nninfisol  7237  piord  7426  addnidpig  7451  archnqq  7532  frecfzennn  10573  hashp1i  10957  ennnfonelemk  12804  ennnfonelemg  12807  ennnfonelemhf1o  12817  ennnfonelemhom  12819  ctinfom  12832  nnsf  15979  peano4nninf  15980  nninfsellemeq  15988  nnnninfex  15996