Theorem nnord 4710

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Ord word 4459  Oncon0 4460  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6660  nnsucuniel  6663  nntri1  6664  nnsseleq  6669  nntr2  6671  phplem1  7038  phplem2  7039  phplem3  7040  phplem4  7041  phplem4dom  7048  nndomo  7050  1ndom2  7051  dif1en  7068  nnwetri  7108  unsnfi  7111  ctmlemr  7307  nnnninf  7325  nnnninfeq  7327  nnnninfeq2  7328  nninfisol  7332  piord  7531  addnidpig  7556  archnqq  7637  frecfzennn  10689  hashp1i  11075  ennnfonelemk  13039  ennnfonelemg  13042  ennnfonelemhf1o  13052  ennnfonelemhom  13054  ctinfom  13067  3dom  16638  nnsf  16658  peano4nninf  16659  nninfsellemeq  16667  nnnninfex  16675