Theorem nnord 4644

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4642	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Ord word 4393  Oncon0 4394  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6545  nnsucuniel  6548  nntri1  6549  nnsseleq  6554  nntr2  6556  phplem1  6908  phplem2  6909  phplem3  6910  phplem4  6911  phplem4dom  6918  nndomo  6920  dif1en  6935  nnwetri  6972  unsnfi  6975  ctmlemr  7167  nnnninf  7185  nnnninfeq  7187  nnnninfeq2  7188  nninfisol  7192  piord  7371  addnidpig  7396  archnqq  7477  frecfzennn  10497  hashp1i  10881  ennnfonelemk  12557  ennnfonelemg  12560  ennnfonelemhf1o  12570  ennnfonelemhom  12572  ctinfom  12585  nnsf  15495  peano4nninf  15496  nninfsellemeq  15504