Theorem nnord 4761

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4509  Oncon0 4510  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740

This theorem is used by:  nnsucsssuc  6770  nnsucuniel  6773  nntri1  6774  nnsseleq  6779  nntr2  6781  phplem1  7159  phplem2  7160  phplem3  7161  phplem4  7162  phplem4dom  7169  nndomo  7171  1ndom2  7172  dif1en  7189  nnwetri  7229  unsnfi  7232  ctmlemr  7454  nnnninf  7472  nnnninfeq  7474  nnnninfeq2  7475  nninfisol  7479  piord  7684  addnidpig  7709  archnqq  7790  frecfzennn  10883  hashp1i  11272  ennnfonelemk  13348  ennnfonelemg  13351  ennnfonelemhf1o  13361  ennnfonelemhom  13363  ctinfom  13376  3dom  17240  nnsf  17271  peano4nninf  17272  nninfsellemeq  17280  nnnninfex  17288