Theorem nnord 4678

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4440	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  Ord word 4427  Oncon0 4428  ωcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6601  nnsucuniel  6604  nntri1  6605  nnsseleq  6610  nntr2  6612  phplem1  6974  phplem2  6975  phplem3  6976  phplem4  6977  phplem4dom  6984  nndomo  6986  1ndom2  6987  dif1en  7002  nnwetri  7039  unsnfi  7042  ctmlemr  7236  nnnninf  7254  nnnninfeq  7256  nnnninfeq2  7257  nninfisol  7261  piord  7459  addnidpig  7484  archnqq  7565  frecfzennn  10608  hashp1i  10992  ennnfonelemk  12886  ennnfonelemg  12889  ennnfonelemhf1o  12899  ennnfonelemhom  12901  ctinfom  12914  nnsf  16144  peano4nninf  16145  nninfsellemeq  16153  nnnninfex  16161