Theorem nnord 4609

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4607	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  Ord word 4360  Oncon0 4361  ωcom 4587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3809  df-int 3844  df-tr 4100  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-iom 4588

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6488  nnsucuniel  6491  nntri1  6492  nnsseleq  6497  nntr2  6499  phplem1  6847  phplem2  6848  phplem3  6849  phplem4  6850  phplem4dom  6857  nndomo  6859  dif1en  6874  nnwetri  6910  unsnfi  6913  ctmlemr  7102  nnnninf  7119  nnnninfeq  7121  nnnninfeq2  7122  nninfisol  7126  piord  7305  addnidpig  7330  archnqq  7411  frecfzennn  10419  hashp1i  10781  ennnfonelemk  12391  ennnfonelemg  12394  ennnfonelemhf1o  12404  ennnfonelemhom  12406  ctinfom  12419  nnsf  14525  peano4nninf  14526  nninfsellemeq  14534