Theorem nnord 4520

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  Ord word 4279  Oncon0 4280  ωcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6381  nnsucuniel  6384  nntri1  6385  nnsseleq  6390  nntr2  6392  phplem1  6739  phplem2  6740  phplem3  6741  phplem4  6742  phplem4dom  6749  nndomo  6751  dif1en  6766  nnwetri  6797  unsnfi  6800  ctmlemr  6986  nnnninf  7016  piord  7112  addnidpig  7137  archnqq  7218  frecfzennn  10192  hashp1i  10549  ennnfonelemk  11902  ennnfonelemg  11905  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemhom  11917  ctinfom  11930  nnsf  13188  peano4nninf  13189  nninfalllemn  13191  nninfsellemeq  13199