Theorem nnord 4734

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4732	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Ord word 4483  Oncon0 4484  ωcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6725  nnsucuniel  6728  nntri1  6729  nnsseleq  6734  nntr2  6736  phplem1  7106  phplem2  7107  phplem3  7108  phplem4  7109  phplem4dom  7116  nndomo  7118  1ndom2  7119  dif1en  7136  nnwetri  7176  unsnfi  7179  ctmlemr  7399  nnnninf  7417  nnnninfeq  7419  nnnninfeq2  7420  nninfisol  7424  piord  7626  addnidpig  7651  archnqq  7732  frecfzennn  10788  hashp1i  11175  ennnfonelemk  13151  ennnfonelemg  13154  ennnfonelemhf1o  13164  ennnfonelemhom  13166  ctinfom  13179  3dom  16762  nnsf  16783  peano4nninf  16784  nninfsellemeq  16792  nnnninfex  16800