Theorem nnord 4629

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4627	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  Ord word 4380  Oncon0 4381  ωcom 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6517  nnsucuniel  6520  nntri1  6521  nnsseleq  6526  nntr2  6528  phplem1  6880  phplem2  6881  phplem3  6882  phplem4  6883  phplem4dom  6890  nndomo  6892  dif1en  6907  nnwetri  6944  unsnfi  6947  ctmlemr  7137  nnnninf  7154  nnnninfeq  7156  nnnninfeq2  7157  nninfisol  7161  piord  7340  addnidpig  7365  archnqq  7446  frecfzennn  10457  hashp1i  10822  ennnfonelemk  12451  ennnfonelemg  12454  ennnfonelemhf1o  12464  ennnfonelemhom  12466  ctinfom  12479  nnsf  15216  peano4nninf  15217  nninfsellemeq  15225