Theorem nnord 4704

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4466	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Ord word 4453  Oncon0 4454  ωcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6638  nnsucuniel  6641  nntri1  6642  nnsseleq  6647  nntr2  6649  phplem1  7013  phplem2  7014  phplem3  7015  phplem4  7016  phplem4dom  7023  nndomo  7025  1ndom2  7026  dif1en  7041  nnwetri  7078  unsnfi  7081  ctmlemr  7275  nnnninf  7293  nnnninfeq  7295  nnnninfeq2  7296  nninfisol  7300  piord  7498  addnidpig  7523  archnqq  7604  frecfzennn  10648  hashp1i  11032  ennnfonelemk  12971  ennnfonelemg  12974  ennnfonelemhf1o  12984  ennnfonelemhom  12986  ctinfom  12999  nnsf  16371  peano4nninf  16372  nninfsellemeq  16380  nnnninfex  16388