Theorem nnord 4645

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4643	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Ord word 4394  Oncon0 4395  ωcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6547  nnsucuniel  6550  nntri1  6551  nnsseleq  6556  nntr2  6558  phplem1  6910  phplem2  6911  phplem3  6912  phplem4  6913  phplem4dom  6920  nndomo  6922  dif1en  6937  nnwetri  6974  unsnfi  6977  ctmlemr  7169  nnnninf  7187  nnnninfeq  7189  nnnninfeq2  7190  nninfisol  7194  piord  7373  addnidpig  7398  archnqq  7479  frecfzennn  10500  hashp1i  10884  ennnfonelemk  12560  ennnfonelemg  12563  ennnfonelemhf1o  12573  ennnfonelemhom  12575  ctinfom  12588  nnsf  15565  peano4nninf  15566  nninfsellemeq  15574