Theorem nnord 4660

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4658	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  Ord word 4409  Oncon0 4410  ωcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6578  nnsucuniel  6581  nntri1  6582  nnsseleq  6587  nntr2  6589  phplem1  6949  phplem2  6950  phplem3  6951  phplem4  6952  phplem4dom  6959  nndomo  6961  dif1en  6976  nnwetri  7013  unsnfi  7016  ctmlemr  7210  nnnninf  7228  nnnninfeq  7230  nnnninfeq2  7231  nninfisol  7235  piord  7424  addnidpig  7449  archnqq  7530  frecfzennn  10571  hashp1i  10955  ennnfonelemk  12771  ennnfonelemg  12774  ennnfonelemhf1o  12784  ennnfonelemhom  12786  ctinfom  12799  nnsf  15946  peano4nninf  15947  nninfsellemeq  15955  nnnninfex  15963