Theorem nnord 4716

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4714	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4478	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Ord word 4465  Oncon0 4466  ωcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6703  nnsucuniel  6706  nntri1  6707  nnsseleq  6712  nntr2  6714  phplem1  7081  phplem2  7082  phplem3  7083  phplem4  7084  phplem4dom  7091  nndomo  7093  1ndom2  7094  dif1en  7111  nnwetri  7151  unsnfi  7154  ctmlemr  7367  nnnninf  7385  nnnninfeq  7387  nnnninfeq2  7388  nninfisol  7392  piord  7591  addnidpig  7616  archnqq  7697  frecfzennn  10751  hashp1i  11137  ennnfonelemk  13101  ennnfonelemg  13104  ennnfonelemhf1o  13114  ennnfonelemhom  13116  ctinfom  13129  3dom  16708  nnsf  16731  peano4nninf  16732  nninfsellemeq  16740  nnnninfex  16748