Theorem nnord 4596

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Ord word 4347  Oncon0 4348  ωcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6471  nnsucuniel  6474  nntri1  6475  nnsseleq  6480  nntr2  6482  phplem1  6830  phplem2  6831  phplem3  6832  phplem4  6833  phplem4dom  6840  nndomo  6842  dif1en  6857  nnwetri  6893  unsnfi  6896  ctmlemr  7085  nnnninf  7102  nnnninfeq  7104  nnnninfeq2  7105  nninfisol  7109  piord  7273  addnidpig  7298  archnqq  7379  frecfzennn  10382  hashp1i  10745  ennnfonelemk  12355  ennnfonelemg  12358  ennnfonelemhf1o  12368  ennnfonelemhom  12370  ctinfom  12383  nnsf  14038  peano4nninf  14039  nninfsellemeq  14047