Theorem nnord 4754

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4752	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4515	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Ord word 4502  Oncon0 4503  ωcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6755  nnsucuniel  6758  nntri1  6759  nnsseleq  6764  nntr2  6766  phplem1  7143  phplem2  7144  phplem3  7145  phplem4  7146  phplem4dom  7153  nndomo  7155  1ndom2  7156  dif1en  7173  nnwetri  7213  unsnfi  7216  ctmlemr  7438  nnnninf  7456  nnnninfeq  7458  nnnninfeq2  7459  nninfisol  7463  piord  7668  addnidpig  7693  archnqq  7774  frecfzennn  10841  hashp1i  11229  ennnfonelemk  13269  ennnfonelemg  13272  ennnfonelemhf1o  13282  ennnfonelemhom  13284  ctinfom  13297  3dom  16932  nnsf  16953  peano4nninf  16954  nninfsellemeq  16962  nnnninfex  16970