Theorem nnord 4739

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4737	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Ord word 4488  Oncon0 4489  ωcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-tr 4214  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6738  nnsucuniel  6741  nntri1  6742  nnsseleq  6747  nntr2  6749  phplem1  7119  phplem2  7120  phplem3  7121  phplem4  7122  phplem4dom  7129  nndomo  7131  1ndom2  7132  dif1en  7149  nnwetri  7189  unsnfi  7192  ctmlemr  7412  nnnninf  7430  nnnninfeq  7432  nnnninfeq2  7433  nninfisol  7437  piord  7642  addnidpig  7667  archnqq  7748  frecfzennn  10812  hashp1i  11200  ennnfonelemk  13235  ennnfonelemg  13238  ennnfonelemhf1o  13248  ennnfonelemhom  13250  ctinfom  13263  3dom  16888  nnsf  16909  peano4nninf  16910  nninfsellemeq  16918  nnnninfex  16926