Theorem nnord 4454

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4452	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1445  Ord word 4213  Oncon0 4214  ωcom 4433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-uni 3676  df-int 3711  df-tr 3959  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6293  nnsucuniel  6296  nntri1  6297  nnsseleq  6302  phplem1  6648  phplem2  6649  phplem3  6650  phplem4  6651  phplem4dom  6658  nndomo  6660  dif1en  6675  nnwetri  6706  unsnfi  6709  ctmlemr  6870  nnnninf  6894  piord  6967  addnidpig  6992  archnqq  7073  frecfzennn  9982  hashp1i  10349  nnsf  12604  peano4nninf  12605  nninfalllemn  12607  nninfsellemeq  12615