Theorem reldmmpl 14323

Description: The multivariate polynomial constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpl	⊢ Rel dom mPoly

Proof of Theorem reldmmpl

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑟 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14298	. 2 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}))
2	1	reldmmpo 6038	1 ⊢ Rel dom mPoly

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479  Vcvv 2763  ⦋csb 3084   class class class wbr 4034  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716   < clt 8080  ℕ₀cn0 9268  Basecbs 12705   ↾_s cress 12706  0_gc0g 12960   mPwSer cmps 14295   mPoly cmpl 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-dm 4674  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-mplcoe 14298

This theorem is referenced by:  mplrcl  14328  mplbasss  14330  mpladd  14338