Theorem reldmmpl 14893

Description: The multivariate polynomial constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpl	⊢ Rel dom mPoly

Proof of Theorem reldmmpl

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑟 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14861	. 2 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}))
2	1	reldmmpo 6167	1 ⊢ Rel dom mPoly

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526  Vcvv 2815  ⦋csb 3140   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  Rel wrel 4756  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884   < clt 8313  ℕ₀cn0 9501  Basecbs 13233   ↾_s cress 13234  0_gc0g 13490   mPwSer cmps 14858   mPoly cmpl 14859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-dm 4761  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-mplcoe 14861

This theorem is referenced by:  mplrcl  14898  mplbasss  14900  mpladd  14908