Theorem reldmmpl 14674

Description: The multivariate polynomial constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpl	⊢ Rel dom mPoly

Proof of Theorem reldmmpl

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑟 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14649	. 2 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}))
2	1	reldmmpo 6125	1 ⊢ Rel dom mPoly

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512  Vcvv 2799  ⦋csb 3124   class class class wbr 4083  dom cdm 4720  Rel wrel 4725  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808   < clt 8197  ℕ₀cn0 9385  Basecbs 13053   ↾_s cress 13054  0_gc0g 13310   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-rel 4727  df-dm 4730  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by:  mplrcl  14679  mplbasss  14681  mpladd  14689