Theorem mpladd 14676

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmmpl 14661	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
3		fnmpl 14665	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
4		fnrel 5419	. . . . . 6 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13103	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		mpladd.g	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
11	6, 9, 10	mplplusgg 14675	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	12	oveqd 6024	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌))
14		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15		mpladd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
16		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 14668	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
18	17, 1	sselid 3222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19		mpladd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 19	sselid 3222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 14651	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
22	13, 21	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   × cxp 4717  Rel wrel 4724   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∘_𝑓 cof 6222  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by: (None)