Theorem mpladd 15078

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmmpl 15063	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
3		fnmpl 15067	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
4		fnrel 5477	. . . . . 6 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13399	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		mpladd.g	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
11	6, 9, 10	mplplusgg 15077	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	12	oveqd 6096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌))
14		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15		mpladd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
16		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 15070	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
18	17, 1	sselid 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19		mpladd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 19	sselid 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 15053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
22	13, 21	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4770  Rel wrel 4777   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∘_𝑓 cof 6294  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414   mPwSer cmps 15028   mPoly cmpl 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-ixp 6975  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-tset 13433  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-psr 15030  df-mplcoe 15031

This theorem is referenced by: (None)