Theorem mpladd 15097

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmmpl 15082	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
3		fnmpl 15086	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
4		fnrel 5479	. . . . . 6 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13418	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		mpladd.g	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
11	6, 9, 10	mplplusgg 15096	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	12	oveqd 6102	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌))
14		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15		mpladd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
16		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 15089	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
18	17, 1	sselid 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19		mpladd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 19	sselid 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 15072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
22	13, 21	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4772  Rel wrel 4779   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∘_𝑓 cof 6300  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433   mPwSer cmps 15047   mPoly cmpl 15048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-tset 13452  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-psr 15049  df-mplcoe 15050

This theorem is used by: (None)