Theorem mpladd 14721

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmmpl 14706	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
3		fnmpl 14710	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
4		fnrel 5428	. . . . . 6 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13147	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		mpladd.g	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
11	6, 9, 10	mplplusgg 14720	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	12	oveqd 6035	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌))
14		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15		mpladd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
16		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 14713	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
18	17, 1	sselid 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19		mpladd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	17, 19	sselid 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 14696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
22	13, 21	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   × cxp 4723  Rel wrel 4730   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ∘_𝑓 cof 6233  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162   mPwSer cmps 14678   mPoly cmpl 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-tset 13181  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-psr 14680  df-mplcoe 14681

This theorem is referenced by: (None)