Theorem mplbasss 14573

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14566	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14570	. . . . . . . 8 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5391	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplval2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13009	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8		mplval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2207	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
13		ssrab2 3286	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))} ⊆ 𝐵
14	12, 13	eqsstrdi 3253	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
15	14	sseld 3200	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
16	15	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ssriv 3205	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487  {crab 2490  Vcvv 2776   ⊆ wss 3174   class class class wbr 4059   × cxp 4691  Rel wrel 4698   Fn wfn 5285  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758   < clt 8142  ℕ₀cn0 9330  Basecbs 12947  0_gc0g 13203   mPwSer cmps 14538   mPoly cmpl 14539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-i2m1 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-ixp 6809  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-tset 13043  df-rest 13188  df-topn 13189  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-psr 14540  df-mplcoe 14541

This theorem is referenced by:  mplelf  14574  mplsubgfilemcl  14576  mplsubgfileminv  14577  mplsubgfi  14578  mpladd  14581  mplnegfi  14582