ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mplbasss GIF version

Theorem mplbasss 14681
Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
mplbasss 𝑈𝐵

Proof of Theorem mplbasss
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmmpl 14674 . . . . . . 7 Rel dom mPoly
2 fnmpl 14678 . . . . . . . 8 mPoly Fn (V × V)
3 fnrel 5422 . . . . . . . 8 ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 Rel mPoly
5 mplval2.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplval2.u . . . . . . 7 𝑈 = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6relelbasov 13116 . . . . . 6 (𝑥𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8 mplval2.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9 mplbasss.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2229 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
115, 8, 9, 10, 6mplbascoe 14676 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)(∀𝑘𝐼 (𝑎𝑘) < (𝑏𝑘) → (𝑓𝑏) = (0g𝑅))})
127, 11syl 14 . . . . 5 (𝑥𝑈𝑈 = {𝑓𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)(∀𝑘𝐼 (𝑎𝑘) < (𝑏𝑘) → (𝑓𝑏) = (0g𝑅))})
13 ssrab2 3309 . . . . 5 {𝑓𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼)(∀𝑘𝐼 (𝑎𝑘) < (𝑏𝑘) → (𝑓𝑏) = (0g𝑅))} ⊆ 𝐵
1412, 13eqsstrdi 3276 . . . 4 (𝑥𝑈𝑈𝐵)
1514sseld 3223 . . 3 (𝑥𝑈 → (𝑥𝑈𝑥𝐵))
1615pm2.43i 49 . 2 (𝑥𝑈𝑥𝐵)
1716ssriv 3228 1 𝑈𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1395  wcel 2200  wral 2508  wrex 2509  {crab 2512  Vcvv 2799  wss 3197   class class class wbr 4083   × cxp 4718  Rel wrel 4725   Fn wfn 5316  cfv 5321  (class class class)co 6010  𝑚 cmap 6808   < clt 8197  0cn0 9385  Basecbs 13053  0gc0g 13310   mPwSer cmps 14646   mPoly cmpl 14647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-i2m1 8120
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-psr 14648  df-mplcoe 14649
This theorem is referenced by:  mplelf  14682  mplsubgfilemcl  14684  mplsubgfileminv  14685  mplsubgfi  14686  mpladd  14689  mplnegfi  14690
  Copyright terms: Public domain W3C validator