Theorem mplbasss 14625

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14618	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14622	. . . . . . . 8 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5395	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplval2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13061	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8		mplval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
13		ssrab2 3289	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))} ⊆ 𝐵
14	12, 13	eqsstrdi 3256	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
15	14	sseld 3203	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
16	15	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ssriv 3208	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  {crab 2492  Vcvv 2779   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062   × cxp 4694  Rel wrel 4701   Fn wfn 5289  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765   < clt 8149  ℕ₀cn0 9337  Basecbs 12998  0_gc0g 13255   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-i2m1 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-psr 14592  df-mplcoe 14593

This theorem is referenced by:  mplelf  14626  mplsubgfilemcl  14628  mplsubgfileminv  14629  mplsubgfi  14630  mpladd  14633  mplnegfi  14634