Theorem mplbasss 14713

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14706	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14710	. . . . . . . 8 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5428	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplval2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8		mplval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
13		ssrab2 3312	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))} ⊆ 𝐵
14	12, 13	eqsstrdi 3279	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
15	14	sseld 3226	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
16	15	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ssriv 3231	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088   × cxp 4723  Rel wrel 4730   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817   < clt 8214  ℕ₀cn0 9402  Basecbs 13084  0_gc0g 13341   mPwSer cmps 14678   mPoly cmpl 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-tset 13181  df-rest 13326  df-topn 13327  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-psr 14680  df-mplcoe 14681

This theorem is referenced by:  mplelf  14714  mplsubgfilemcl  14716  mplsubgfileminv  14717  mplsubgfi  14718  mpladd  14721  mplnegfi  14722