Theorem mplbasss 14668

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14661	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14665	. . . . . . . 8 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplval2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8		mplval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
13		ssrab2 3309	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))} ⊆ 𝐵
14	12, 13	eqsstrdi 3276	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
15	14	sseld 3223	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
16	15	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ssriv 3228	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   × cxp 4717  Rel wrel 4724   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ↑_𝑚 cmap 6803   < clt 8189  ℕ₀cn0 9377  Basecbs 13040  0_gc0g 13297   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-i2m1 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by:  mplelf  14669  mplsubgfilemcl  14671  mplsubgfileminv  14672  mplsubgfi  14673  mpladd  14676  mplnegfi  14677