Theorem mplbasss 14502

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplval2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplval2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplbasss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑏 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14495	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14499	. . . . . . . 8 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5377	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplval2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 12938	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8		mplval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))})
13		ssrab2 3279	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑅))} ⊆ 𝐵
14	12, 13	eqsstrdi 3246	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
15	14	sseld 3193	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵))
16	15	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	16	ssriv 3198	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  {crab 2489  Vcvv 2773   ⊆ wss 3167   class class class wbr 4047   × cxp 4677  Rel wrel 4684   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742   < clt 8114  ℕ₀cn0 9302  Basecbs 12876  0_gc0g 13132   mPwSer cmps 14467   mPoly cmpl 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-i2m1 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-ixp 6793  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-psr 14469  df-mplcoe 14470

This theorem is referenced by:  mplelf  14503  mplsubgfilemcl  14505  mplsubgfileminv  14506  mplsubgfi  14507  mpladd  14510  mplnegfi  14511