Theorem mplrcl 14701

Description: Reverse closure for the polynomial index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem mplrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14696	. . 3 ⊢ Rel dom mPoly
2		fnmpl 14700	. . . 4 ⊢ mPoly Fn (V × V)
3		fnrel 5425	. . . 4 ⊢ ( mPoly Fn (V × V) → Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel mPoly
5		mplrcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13138	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 112	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   × cxp 4721  Rel wrel 4728   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075   mPoly cmpl 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-i2m1 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-tset 13172  df-rest 13317  df-topn 13318  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-psr 14670  df-mplcoe 14671

This theorem is referenced by: (None)