Theorem psr1clfi 14972

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	2, 7	ring0cl 14267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
12		0z 9608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		cnveq 4934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ◡𝑓 = ◡𝑥)
14	13	imaeq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑥 “ ℕ))
15	14	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17	15, 16	elrab2 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20		nn0ex 9522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑥:𝐼⟶ℕ0))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
27		zdceq 9673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
29	28	ralrimiva 2617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
30		dcfi 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧)) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
31	11, 29, 30	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
32		0nn0 9531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	32	rgenw 2599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0
34		mpteqb 5773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
36	35	dcbii 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
38		eqcom 2236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39	38	dcbii 848	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
41	24	feqmptd 5735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
42		fconstmpt 4802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
44	41, 43	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
45	44	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}))
47	6, 10, 46	ifcldcd 3664	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
48		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
49	47, 48	fmptd 5836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		basfn 13358	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
51	1	elexd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
52		funfvex 5692	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
53	52	funfni 5463	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
55		fnmap 6902	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
56	11	elexd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
57		fnovex 6091	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
59	16, 58	rabexd 4262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
60	54, 59	elmapd 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅)))
61	49, 60	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
62		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
63		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14958	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
65	61, 64	eleqtrrd 2314	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815  ifcif 3624  {csn 3694   ↦ cmpt 4176   × cxp 4752  ^◡ccnv 4753   “ cima 4757   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895  Fincfn 6988  0cc0 8143  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  Basecbs 13299  0_gc0g 13556  1_rcur 14205  Ringcrg 14242   mPwSer cmps 14938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-tset 13396  df-rest 13541  df-topn 13542  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-psr 14940

This theorem is referenced by: (None)