Theorem psr1clfi 15062

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	2, 7	ring0cl 14309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
12		0z 9638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		cnveq 4952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ◡𝑓 = ◡𝑥)
14	13	imaeq1d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑥 “ ℕ))
15	14	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17	15, 16	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20		nn0ex 9552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑥:𝐼⟶ℕ0))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
27		zdceq 9703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
28	12, 26, 27	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
29	28	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
30		dcfi 7309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧)) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
31	11, 29, 30	syl2an2r 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
32		0nn0 9561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	32	rgenw 2605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0
34		mpteqb 5793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
36	35	dcbii 852	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
38		eqcom 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39	38	dcbii 852	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
41	24	feqmptd 5753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
42		fconstmpt 4820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
44	41, 43	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
45	44	dcbid 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}))
47	6, 10, 46	ifcldcd 3678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
48		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
49	47, 48	fmptd 5856	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		basfn 13394	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
51	1	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
52		funfvex 5710	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
53	52	funfni 5481	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	50, 51, 53	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
55		fnmap 6923	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
56	11	elexd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
57		fnovex 6112	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
59	16, 58	rabexd 4279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
60	54, 59	elmapd 6930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅)))
61	49, 60	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
62		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
63		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 15048	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
65	61, 64	eleqtrrd 2318	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  ifcif 3638  {csn 3708   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016  0cc0 8173  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  Basecbs 13335  0_gc0g 13593  1_rcur 14245  Ringcrg 14283   mPwSer cmps 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-er 6801  df-map 6918  df-ixp 6975  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-tset 13433  df-rest 13578  df-topn 13579  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-psr 15030

This theorem is referenced by: (None)