Theorem psr1clfi 14494

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 13826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	2, 7	ring0cl 13827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
12		0z 9390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		cnveq 4856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ◡𝑓 = ◡𝑥)
14	13	imaeq1d 5026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑥 “ ℕ))
15	14	eleq1d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17	15, 16	elrab2 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20		nn0ex 9308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑥:𝐼⟶ℕ0))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
27		zdceq 9455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
29	28	ralrimiva 2580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
30		dcfi 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧)) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
31	11, 29, 30	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
32		0nn0 9317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	32	rgenw 2562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0
34		mpteqb 5677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
36	35	dcbii 842	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
38		eqcom 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39	38	dcbii 842	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
41	24	feqmptd 5639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
42		fconstmpt 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
44	41, 43	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
45	44	dcbid 840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}))
47	6, 10, 46	ifcldcd 3609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
48		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
49	47, 48	fmptd 5741	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		basfn 12934	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
51	1	elexd 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
52		funfvex 5600	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
53	52	funfni 5381	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
55		fnmap 6749	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
56	11	elexd 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
57		fnovex 5984	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
59	16, 58	rabexd 4193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
60	54, 59	elmapd 6756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅)))
61	49, 60	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
62		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
63		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14480	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
65	61, 64	eleqtrrd 2286	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {crab 2489  Vcvv 2773  ifcif 3572  {csn 3634   ↦ cmpt 4109   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678   “ cima 4682   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742  Fincfn 6834  0cc0 7932  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  Basecbs 12876  0_gc0g 13132  1_rcur 13765  Ringcrg 13802   mPwSer cmps 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-er 6627  df-map 6744  df-ixp 6793  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-psr 14469

This theorem is referenced by: (None)