Theorem psr1clfi 14673

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	2, 7	ring0cl 14005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
12		0z 9473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		cnveq 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ◡𝑓 = ◡𝑥)
14	13	imaeq1d 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑥 “ ℕ))
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17	15, 16	elrab2 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20		nn0ex 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑥:𝐼⟶ℕ0))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
27		zdceq 9538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
30		dcfi 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧)) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
31	11, 29, 30	syl2an2r 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
32		0nn0 9400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	32	rgenw 2585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0
34		mpteqb 5730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
36	35	dcbii 845	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
38		eqcom 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39	38	dcbii 845	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
41	24	feqmptd 5692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
42		fconstmpt 4768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
44	41, 43	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
45	44	dcbid 843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}))
47	6, 10, 46	ifcldcd 3640	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
48		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
49	47, 48	fmptd 5794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		basfn 13112	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
51	1	elexd 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
52		funfvex 5649	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
53	52	funfni 5426	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
55		fnmap 6815	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
56	11	elexd 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
57		fnovex 6043	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
59	16, 58	rabexd 4230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
60	54, 59	elmapd 6822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅)))
61	49, 60	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
62		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
63		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14659	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
65	61, 64	eleqtrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2799  ifcif 3602  {csn 3666   ↦ cmpt 4145   × cxp 4718  ^◡ccnv 4719   “ cima 4723   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808  Fincfn 6900  0cc0 8015  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  Basecbs 13053  0_gc0g 13310  1_rcur 13943  Ringcrg 13980   mPwSer cmps 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-er 6693  df-map 6810  df-ixp 6859  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-psr 14648

This theorem is referenced by: (None)