Theorem psr1clfi 14695

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 14026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	2, 7	ring0cl 14027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
12		0z 9483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		cnveq 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ◡𝑓 = ◡𝑥)
14	13	imaeq1d 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝑥 “ ℕ))
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑥 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17	15, 16	elrab2 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin))
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20		nn0ex 9401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑥:𝐼⟶ℕ0))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
25	24	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
27		zdceq 9548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧))
30		dcfi 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 DECID 0 = (𝑥‘𝑧)) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
31	11, 29, 30	syl2an2r 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
32		0nn0 9410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	32	rgenw 2585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0
34		mpteqb 5733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐼 0 ∈ ℕ0 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
36	35	dcbii 845	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID ∀𝑧 ∈ 𝐼 0 = (𝑥‘𝑧))
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
38		eqcom 2231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39	38	dcbii 845	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
41	24	feqmptd 5695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
42		fconstmpt 4771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0))
44	41, 43	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
45	44	dcbid 843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ DECID (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ 0)))
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → DECID 𝑥 = (𝐼 × {0}))
47	6, 10, 46	ifcldcd 3641	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
48		psr1cl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
49	47, 48	fmptd 5797	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50		basfn 13134	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
51	1	elexd 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
52		funfvex 5652	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
53	52	funfni 5429	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
55		fnmap 6819	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
56	11	elexd 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
57		fnovex 6046	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
59	16, 58	rabexd 4233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
60	54, 59	elmapd 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅)))
61	49, 60	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
62		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
63		psr1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14681	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
65	61, 64	eleqtrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2800  ifcif 3603  {csn 3667   ↦ cmpt 4148   × cxp 4721  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812  Fincfn 6904  0cc0 8025  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  Basecbs 13075  0_gc0g 13332  1_rcur 13965  Ringcrg 14002   mPwSer cmps 14668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-er 6697  df-map 6814  df-ixp 6863  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-tset 13172  df-rest 13317  df-topn 13318  df-0g 13334  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-ring 14004  df-psr 14670

This theorem is referenced by: (None)