Theorem reldmpsr 14744

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 14742	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 6143	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  {crab 2515  Vcvv 2803  ⦋csb 3128   ∪ cun 3199  {csn 3673  {ctp 3675  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155   × cxp 4729  ^◡ccnv 4730  dom cdm 4731   ↾ cres 4733   “ cima 4734  Rel wrel 4736  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030   ∘_𝑓 cof 6242   ∘_𝑟 cofr 6243   ↑_𝑚 cmap 6860  Fincfn 6952   ≤ cle 8258   − cmin 8393  ℕcn 9186  ℕ₀cn0 9445  ndxcnx 13142  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   ·_𝑠 cvsca 13227  TopSetcts 13229  TopOpenctopn 13386  ∏_tcpt 13401   Σ_g cgsu 13403   mPwSer cmps 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-dm 4741  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-psr 14742

This theorem is referenced by:  psrelbas  14759  psradd  14763  psraddcl  14764