Theorem reldmpsr 14594

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 14592	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 6087	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  {crab 2492  Vcvv 2779  ⦋csb 3104   ∪ cun 3175  {csn 3646  {ctp 3648  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124   × cxp 4694  ^◡ccnv 4695  dom cdm 4696   ↾ cres 4698   “ cima 4699  Rel wrel 4701  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976   ∘_𝑓 cof 6186   ∘_𝑟 cofr 6187   ↑_𝑚 cmap 6765  Fincfn 6857   ≤ cle 8150   − cmin 8285  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ndxcnx 12995  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  Scalarcsca 13079   ·_𝑠 cvsca 13080  TopSetcts 13082  TopOpenctopn 13239  ∏_tcpt 13254   Σ_g cgsu 13256   mPwSer cmps 14590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-br 4063  df-opab 4125  df-xp 4702  df-rel 4703  df-dm 4706  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-psr 14592

This theorem is referenced by:  psrelbas  14604  psradd  14608  psraddcl  14609