Theorem reldmpsr 14942

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 14940	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpo 6173	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815  ⦋csb 3141   ∪ cun 3212  {csn 3694  {ctp 3696  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176   × cxp 4752  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754   ↾ cres 4756   “ cima 4757  Rel wrel 4759  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060   ∘_𝑓 cof 6273   ∘_𝑟 cofr 6274   ↑_𝑚 cmap 6895  Fincfn 6988   ≤ cle 8325   − cmin 8461  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  ndxcnx 13296  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  ._rcmulr 13378  Scalarcsca 13380   ·_𝑠 cvsca 13381  TopSetcts 13383  TopOpenctopn 13540  ∏_tcpt 13555   Σ_g cgsu 13557   mPwSer cmps 14938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-dm 4764  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-psr 14940

This theorem is referenced by:  psrelbas  14959  psradd  14963  psraddcl  14964