Theorem psradd 14163

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
psrplusg.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
psradd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psradd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psradd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmpsr 14151	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14153	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
4		fnrel 5352	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrplusg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12680	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		psrplusg.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		psrplusg.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14162	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	12	oveqd 5935	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
14		psradd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 14	ofmresval 6142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
16	13, 15	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   × cxp 4657   ↾ cres 4661  Rel wrel 4664   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∘_𝑓 cof 6128  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695   mPwSer cmps 14149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-ixp 6753  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-tset 12714  df-rest 12852  df-topn 12853  df-topgen 12871  df-pt 12872  df-psr 14150

This theorem is referenced by:  psraddcl  14164