Theorem psradd 14174

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
psrplusg.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
psradd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psradd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psradd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmpsr 14162	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14164	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
4		fnrel 5353	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrplusg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12683	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		psrplusg.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		psrplusg.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14173	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	12	oveqd 5936	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
14		psradd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 14	ofmresval 6144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
16	13, 15	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   × cxp 4658   ↾ cres 4662  Rel wrel 4665   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∘_𝑓 cof 6130  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698   mPwSer cmps 14160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-ixp 6755  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-pt 12875  df-psr 14161

This theorem is referenced by:  psraddcl  14175