Theorem psradd 14485

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
psrplusg.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
psradd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psradd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psradd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmpsr 14471	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14473	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
4		fnrel 5377	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrplusg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12938	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		psrplusg.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		psrplusg.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	12	oveqd 5968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
14		psradd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 14	ofmresval 6177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
16	13, 15	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   × cxp 4677   ↾ cres 4681  Rel wrel 4684   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ∘_𝑓 cof 6163  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953   mPwSer cmps 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-ixp 6793  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-psr 14469

This theorem is referenced by:  psraddcl  14486  psr0lid  14488  psrlinv  14490  psrgrp  14491  mplsubgfilemcl  14505  mpladd  14510