Theorem psradd 14628

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
psrplusg.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
psradd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psradd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psradd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmpsr 14614	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14616	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
4		fnrel 5415	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrplusg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13081	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		psrplusg.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		psrplusg.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14627	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	12	oveqd 6011	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
14		psradd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 14	ofmresval 6220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
16	13, 15	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   × cxp 4714   ↾ cres 4718  Rel wrel 4721   Fn wfn 5309  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994   ∘_𝑓 cof 6206  Basecbs 13018  +_gcplusg 13096   mPwSer cmps 14610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-map 6787  df-ixp 6836  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-tset 13115  df-rest 13260  df-topn 13261  df-topgen 13279  df-pt 13280  df-psr 14612

This theorem is referenced by:  psraddcl  14629  psr0lid  14631  psrlinv  14633  psrgrp  14634  mplsubgfilemcl  14648  mpladd  14653