Theorem psradd 14760

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
psrplusg.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
psradd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psradd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psradd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmpsr 14741	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14743	. . . . . 6 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
4		fnrel 5435	. . . . . 6 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrplusg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13206	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9		psrplusg.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		psrplusg.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑆)
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14759	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	12	oveqd 6045	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
14		psradd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 14	ofmresval 6256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
16	13, 15	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   × cxp 4729   ↾ cres 4733  Rel wrel 4736   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∘_𝑓 cof 6242  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221   mPwSer cmps 14737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-ixp 6911  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-tset 13240  df-rest 13385  df-topn 13386  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-psr 14739

This theorem is referenced by:  psraddcl  14761  psr0lid  14763  psrlinv  14765  psrgrp  14766  mplsubgfilemcl  14780  mpladd  14785