Theorem psrelbas 14306

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 14297	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7		fnpsr 14299	. . . . . . . 8 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
8		fnrel 5357	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 12767	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 14305	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
15	1, 14	eleqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
16		basfn 12763	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
17		funfvex 5578	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5361	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	16, 13, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21		fnmap 6723	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
22		nn0ex 9274	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		fnovex 5958	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	4, 24	rabexd 4179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	20, 25	elmapd 6730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾))
27	15, 26	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  Rel wrel 4669   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  Basecbs 12705   mPwSer cmps 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-tset 12801  df-rest 12945  df-topn 12946  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-psr 14296

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  14307  psraddcl  14310  psr0lid  14312  psrnegcl  14313  psrlinv  14314