Theorem psrelbas 15151

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 15133	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7		fnpsr 15135	. . . . . . . 8 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
8		fnrel 5479	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 13468	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 15150	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
15	1, 14	eleqtrd 2317	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
16		basfn 13463	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
17		funfvex 5712	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5483	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	16, 13, 18	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21		fnmap 6929	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
22		nn0ex 9574	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		fnovex 6118	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	4, 24	rabexd 4281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	20, 25	elmapd 6936	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾))
27	15, 26	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   × cxp 4772  ^◡ccnv 4773   “ cima 4777  Rel wrel 4779   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  Basecbs 13404   mPwSer cmps 15129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-rest 13648  df-topn 13649  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-psr 15131

This theorem is used by:  psrelbasfi  15152  psrelbasfun  15153  psraddcl  15156  psrmulclfilem  15161  psr0lid  15164  psrnegcl  15165  psrlinv  15166  mplelf  15179