Theorem psrelbas 14718

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 14703	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7		fnpsr 14705	. . . . . . . 8 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
8		fnrel 5430	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 13168	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 14717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
15	1, 14	eleqtrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
16		basfn 13164	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
17		funfvex 5659	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5434	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	16, 13, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2317	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21		fnmap 6829	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
22		nn0ex 9413	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		fnovex 6056	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	4, 24	rabexd 4236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	20, 25	elmapd 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾))
27	15, 26	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {crab 2513  Vcvv 2801   × cxp 4725  ^◡ccnv 4726   “ cima 4730  Rel wrel 4732   Fn wfn 5323  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   ↑_𝑚 cmap 6822  Fincfn 6914  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  Basecbs 13105   mPwSer cmps 14699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-psr 14701

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14719  psrelbasfun  14720  psraddcl  14723  psr0lid  14725  psrnegcl  14726  psrlinv  14727  mplelf  14740