Theorem psrelbas 14961

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 14944	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7		fnpsr 14946	. . . . . . . 8 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
8		fnrel 5460	. . . . . . . 8 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 13364	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 14960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
15	1, 14	eleqtrd 2313	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
16		basfn 13360	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
17		funfvex 5693	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
18	17	funfni 5464	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
19	16, 13, 18	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21		fnmap 6903	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
22		nn0ex 9523	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		fnovex 6092	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25	4, 24	rabexd 4263	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
26	20, 25	elmapd 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾))
27	15, 26	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815   × cxp 4753  ^◡ccnv 4754   “ cima 4758  Rel wrel 4760   Fn wfn 5353  ⟶wf 5354  ‘cfv 5358  (class class class)co 6059   ↑_𝑚 cmap 6896  Fincfn 6989  ℕcn 9258  ℕ₀cn0 9517  Basecbs 13301   mPwSer cmps 14940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-map 6898  df-ixp 6948  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-tset 13398  df-rest 13543  df-topn 13544  df-topgen 13562  df-pt 13563  df-psr 14942

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14962  psrelbasfun  14963  psraddcl  14966  psr0lid  14968  psrnegcl  14969  psrlinv  14970  mplelf  14983