Theorem psraddcl 13982

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
2		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	mgmcl 12847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 13978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 13978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		fnmap 6685	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
15		nn0ex 9218	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
16		reldmpsr 13969	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
17		fnpsr 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnrel 5336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 5933	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25		rabexg 4164	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27		inidm 3359	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29		basfn 12582	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
30	1	elexd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
31		funfvex 5554	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	31	funfni 5338	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
34	33, 26	elmapd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅)))
35	28, 34	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36		psraddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 13981	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌))
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 13977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
39	35, 37, 38	3eltr4d 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {crab 2472  Vcvv 2752   × cxp 4645  ^◡ccnv 4646   “ cima 4650  Rel wrel 4652   Fn wfn 5233  ⟶wf 5234  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900   ∘_𝑓 cof 6108   ↑_𝑚 cmap 6678  Fincfn 6770  ℕcn 8955  ℕ₀cn0 9212  Basecbs 12524  +_gcplusg 12601  Mgmcmgm 12842   mPwSer cmps 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-of 6110  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-ixp 6729  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-inn 8956  df-2 9014  df-3 9015  df-4 9016  df-5 9017  df-6 9018  df-7 9019  df-8 9020  df-9 9021  df-n0 9213  df-z 9290  df-uz 9565  df-fz 10046  df-struct 12526  df-ndx 12527  df-slot 12528  df-base 12530  df-plusg 12614  df-mulr 12615  df-sca 12617  df-vsca 12618  df-tset 12620  df-rest 12758  df-topn 12759  df-topgen 12777  df-pt 12778  df-mgm 12844  df-psr 13968

This theorem is referenced by: (None)