Theorem psraddcl 14175

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
2		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	mgmcl 12945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		fnmap 6711	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
15		nn0ex 9249	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
16		reldmpsr 14162	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14164	. . . . . . . . . 10 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnrel 5353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 5952	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25		rabexg 4173	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27		inidm 3369	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29		basfn 12679	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
30	1	elexd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
31		funfvex 5572	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	31	funfni 5355	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
34	33, 26	elmapd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅)))
35	28, 34	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36		psraddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌))
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14170	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
39	35, 37, 38	3eltr4d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659   “ cima 4663  Rel wrel 4665   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∘_𝑓 cof 6130   ↑_𝑚 cmap 6704  Fincfn 6796  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  Mgmcmgm 12940   mPwSer cmps 14160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-ixp 6755  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-pt 12875  df-mgm 12942  df-psr 14161

This theorem is referenced by: (None)