Theorem psraddcl 14764

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
2		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	mgmcl 13505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		fnmap 6867	. . . . . 6 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
15		nn0ex 9450	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
16		reldmpsr 14744	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14746	. . . . . . . . . 10 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnrel 5435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 13208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	21	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		fnovex 6061	. . . . . 6 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
25		rabexg 4238	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27		inidm 3418	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29		basfn 13204	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
30	1	elexd 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
31		funfvex 5665	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	31	funfni 5439	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
34	33, 26	elmapd 6874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅)))
35	28, 34	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36		psraddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑌))
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14758	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
39	35, 37, 38	3eltr4d 2315	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  Vcvv 2803   × cxp 4729  ^◡ccnv 4730   “ cima 4734  Rel wrel 4736   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∘_𝑓 cof 6242   ↑_𝑚 cmap 6860  Fincfn 6952  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  Mgmcmgm 13500   mPwSer cmps 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-ixp 6911  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-tset 13242  df-rest 13387  df-topn 13388  df-topgen 13406  df-pt 13407  df-mgm 13502  df-psr 14742

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14783