ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psraddcl GIF version

Theorem psraddcl 14164
Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p + = (+g𝑆)
psraddcl.r (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psraddcl.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
psraddcl (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddcl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
2 eqid 2193 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2193 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42, 3mgmcl 12942 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
543expb 1206 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
61, 5sylan 283 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7 psraddcl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 eqid 2193 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psraddcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psraddcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 14160 . . . 4 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 psraddcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 14160 . . . 4 (𝜑𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14 fnmap 6709 . . . . . 6 𝑚 Fn (V × V)
15 nn0ex 9246 . . . . . 6 0 ∈ V
16 reldmpsr 14151 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
17 fnpsr 14153 . . . . . . . . . 10 mPwSer Fn (V × V)
18 fnrel 5352 . . . . . . . . . 10 ( mPwSer Fn (V × V) → Rel mPwSer )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Rel mPwSer
2016, 19, 7, 9relelbasov 12680 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2110, 20syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2221simpld 112 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
23 fnovex 5951 . . . . . 6 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
2414, 15, 22, 23mp3an12i 1352 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
25 rabexg 4172 . . . . 5 ((ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
2624, 25syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27 inidm 3368 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
286, 11, 13, 26, 26, 27off 6143 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29 basfn 12676 . . . . 5 Base Fn V
301elexd 2773 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
31 funfvex 5571 . . . . . 6 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
3231funfni 5354 . . . . 5 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
3329, 30, 32sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
3433, 26elmapd 6716 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅)))
3528, 34mpbird 167 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
36 psraddcl.p . . 3 + = (+g𝑆)
377, 9, 3, 36, 10, 12psradd 14163 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌))
387, 2, 8, 9, 22, 1psrbasg 14159 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3935, 37, 383eltr4d 2277 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   × cxp 4657  ccnv 4658  cima 4662  Rel wrel 4664   Fn wfn 5249  wf 5250  cfv 5254  (class class class)co 5918  𝑓 cof 6128  𝑚 cmap 6702  Fincfn 6794  cn 8982  0cn0 9240  Basecbs 12618  +gcplusg 12695  Mgmcmgm 12937   mPwSer cmps 14149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-ixp 6753  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-tset 12714  df-rest 12852  df-topn 12853  df-topgen 12871  df-pt 12872  df-mgm 12939  df-psr 14150
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator