Theorem renfdisj 8103

Description: The reals and the infinities are disjoint. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renfdisj	⊢ (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Proof of Theorem renfdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 3500	. 2 ⊢ ((ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
2		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	elpr 3644	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
4		renepnf 8091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ +∞)
5	4	necon2bi 2422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		renemnf 8092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≠ -∞)
7	6	necon2bi 2422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
8	5, 7	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
9	3, 8	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞, -∞} → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	con2i 628	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ 𝑥 ∈ {+∞, -∞})
11	1, 10	mprgbir 2555	1 ⊢ (ℝ ∩ {+∞, -∞}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  {cpr 3624  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081

This theorem is referenced by: (None)