Theorem disj 3457

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint (have no members in common). (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
disj	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-in 3122	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
2	1	eqeq1i 2173	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = ∅)
3		abeq1 2276	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		imnan 680	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5		noel 3413	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
6	5	nbn 689	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	4, 6	bitr2i 184	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	albii 1458	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	2, 3, 8	3bitri 205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10		df-ral 2449	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11	9, 10	bitr4i 186	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1341   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cab 2151  ∀wral 2444   ∩ cin 3115  ∅c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-nul 3410

This theorem is referenced by:  disjr  3458  disj1  3459  disjne  3462  f0rn0  5382  renfdisj  7958  fvinim0ffz  10176  fxnn0nninf  10373  fprodsplitdc  11537  exmidunben  12359  dedekindeulemuub  13235  dedekindeulemlu  13239  dedekindicclemuub  13244  dedekindicclemlu  13248  ivthinclemdisj  13258  exmidsbthrlem  13901