ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rprene0d GIF version

Theorem rprene0d 9723
Description: A positive real is a nonzero real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rprene0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rprene0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 9714 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31rpne0d 9719 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 306 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2160  wne 2360  cr 7828  0cc0 7829  +crp 9671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-rp 9672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator