ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rprene0d GIF version

Theorem rprene0d 9612
Description: A positive real is a nonzero real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rprene0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rprene0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 9603 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31rpne0d 9608 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 304 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2128  wne 2327  cr 7731  0cc0 7732  +crp 9560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1re 7826  ax-addrcl 7829  ax-rnegex 7841  ax-pre-ltirr 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-rp 9561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator