Theorem rprene0d 9391

Description: A positive real is a nonzero real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprene0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rprene0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9382	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpne0d 9387	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 302	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ℝcr 7546  0cc0 7547  ℝ⁺crp 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729  df-rp 9344

This theorem is referenced by: (None)