Theorem rpxr 9597

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 7948	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℝ^*cxr 7932  ℝ⁺crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-xr 7937  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11215  blcntrps  13055  blcntr  13056  unirnblps  13062  unirnbl  13063  blssexps  13069  blssex  13070  blin2  13072  neibl  13131  blnei  13132  metss  13134  metss2lem  13137  bdmet  13142  bdmopn  13144  mopnex  13145  metrest  13146  xmettx  13150  metcnp3  13151  metcnp  13152  metcnpi3  13157  txmetcnp  13158  limcimolemlt  13273