Theorem rpxr 9869

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8207	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝ^*cxr 8191  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-xr 8196  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11801  blcntrps  15105  blcntr  15106  unirnblps  15112  unirnbl  15113  blssexps  15119  blssex  15120  blin2  15122  neibl  15181  blnei  15182  metss  15184  metss2lem  15187  bdmet  15192  bdmopn  15194  mopnex  15195  metrest  15196  xmettx  15200  metcnp3  15201  metcnp  15202  metcnpi3  15207  txmetcnp  15208  limcimolemlt  15354