Theorem rpxr 10045

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 10044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8369	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝ^*cxr 8353  ℝ⁺crp 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-xr 8358  df-rp 10038

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  12023  blcntrps  15499  blcntr  15500  unirnblps  15506  unirnbl  15507  blssexps  15513  blssex  15514  blin2  15516  neibl  15575  blnei  15576  metss  15578  metss2lem  15581  bdmet  15586  bdmopn  15588  mopnex  15589  metrest  15590  xmettx  15594  metcnp3  15595  metcnp  15596  metcnpi3  15601  txmetcnp  15602  limcimolemlt  15748