Theorem rpxr 9865

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8204	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝ^*cxr 8188  ℝ⁺crp 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-xr 8193  df-rp 9858

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11793  blcntrps  15097  blcntr  15098  unirnblps  15104  unirnbl  15105  blssexps  15111  blssex  15112  blin2  15114  neibl  15173  blnei  15174  metss  15176  metss2lem  15179  bdmet  15184  bdmopn  15186  mopnex  15187  metrest  15188  xmettx  15192  metcnp3  15193  metcnp  15194  metcnpi3  15199  txmetcnp  15200  limcimolemlt  15346