Theorem rpxr 10000

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 9999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8328	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℝ^*cxr 8312  ℝ⁺crp 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-xr 8317  df-rp 9993

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11967  blcntrps  15329  blcntr  15330  unirnblps  15336  unirnbl  15337  blssexps  15343  blssex  15344  blin2  15346  neibl  15405  blnei  15406  metss  15408  metss2lem  15411  bdmet  15416  bdmopn  15418  mopnex  15419  metrest  15420  xmettx  15424  metcnp3  15425  metcnp  15426  metcnpi3  15431  txmetcnp  15432  limcimolemlt  15578