Theorem rpxr 10015

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 10014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8339	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℝ^*cxr 8323  ℝ⁺crp 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-xr 8328  df-rp 10008

This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11987  blcntrps  15409  blcntr  15410  unirnblps  15416  unirnbl  15417  blssexps  15423  blssex  15424  blin2  15426  neibl  15485  blnei  15486  metss  15488  metss2lem  15491  bdmet  15496  bdmopn  15498  mopnex  15499  metrest  15500  xmettx  15504  metcnp3  15505  metcnp  15506  metcnpi3  15511  txmetcnp  15512  limcimolemlt  15658