Theorem metss2lem 15581

Description: Lemma for metss2 15582. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metss2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2	1	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		simplrl 541	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		metcl 15437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 10080	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		metss2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 10	ltmuldiv2d 10129	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12		metss2.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
13	12	anassrs 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlrr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		metss2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17		metcl 15437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
18	16, 3, 4, 17	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	10	rpred 10080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
20	19, 6	remulcld 8350	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21		lelttr 8408	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
22	18, 20, 8, 21	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
23	14, 22	mpand 433	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
24	11, 23	sylbird 170	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
25	24	ss2rabdv 3329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26		metxmet 15439	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
30		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31		rpdivcl 10063	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
32	30, 9, 31	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
33	32	rpxrd 10081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34		blval 15473	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
35	28, 29, 33, 34	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36		metxmet 15439	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	15, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		rpxr 10045	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	39	ad2antll 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41		blval 15473	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
42	38, 29, 40, 41	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
43	25, 35, 42	3sstr4d 3293	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172   · cmul 8178  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355   / cdiv 8996  ℝ⁺crp 10037  ∞Metcxmet 14856  Metcmet 14857  ballcbl 14858  MetOpencmopn 14861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-rp 10038  df-xadd 10158  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866

This theorem is referenced by:  metss2  15582