Theorem metss2lem 15291

Description: Lemma for metss2 15292. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metss2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		metcl 15147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		metss2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 10	ltmuldiv2d 10025	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12		metss2.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
13	12	anassrs 400	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlrr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		metss2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17		metcl 15147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
18	16, 3, 4, 17	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	10	rpred 9976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
20	19, 6	remulcld 8253	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21		lelttr 8311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
22	18, 20, 8, 21	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
23	14, 22	mpand 429	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
24	11, 23	sylbird 170	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
25	24	ss2rabdv 3309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26		metxmet 15149	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
30		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31		rpdivcl 9959	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
32	30, 9, 31	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
33	32	rpxrd 9977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34		blval 15183	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
35	28, 29, 33, 34	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36		metxmet 15149	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	15, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		rpxr 9941	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	39	ad2antll 491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41		blval 15183	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
42	38, 29, 40, 41	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
43	25, 35, 42	3sstr4d 3273	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8256   < clt 8257   ≤ cle 8258   / cdiv 8895  ℝ⁺crp 9933  ∞Metcxmet 14615  Metcmet 14616  ballcbl 14617  MetOpencmopn 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-rp 9934  df-xadd 10053  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625

This theorem is referenced by:  metss2  15292