Theorem metss2lem 15600

Description: Lemma for metss2 15601. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metss2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2	1	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		simplrl 541	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		metcl 15456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 10099	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		metss2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 10	ltmuldiv2d 10148	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12		metss2.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
13	12	anassrs 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlrr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		metss2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17		metcl 15456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
18	16, 3, 4, 17	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	10	rpred 10099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
20	19, 6	remulcld 8356	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21		lelttr 8414	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
22	18, 20, 8, 21	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
23	14, 22	mpand 433	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
24	11, 23	sylbird 170	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
25	24	ss2rabdv 3329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26		metxmet 15458	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
30		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31		rpdivcl 10082	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
32	30, 9, 31	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
33	32	rpxrd 10100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34		blval 15492	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
35	28, 29, 33, 34	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36		metxmet 15458	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	15, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		rpxr 10064	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	39	ad2antll 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41		blval 15492	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
42	38, 29, 40, 41	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
43	25, 35, 42	3sstr4d 3293	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8178   · cmul 8184  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   ≤ cle 8361   / cdiv 9003  ℝ⁺crp 10056  ∞Metcxmet 14875  Metcmet 14876  ballcbl 14877  MetOpencmopn 14880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-rp 10057  df-xadd 10177  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885

This theorem is used by:  metss2  15601