Theorem metss2lem 13291

Description: Lemma for metss2 13292. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2lem	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metss2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2	1	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		simplrl 530	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		metcl 13147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7		simplrr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
8	7	rpred 9653	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9		metss2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antrr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 10	ltmuldiv2d 9702	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12		metss2.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
13	12	anassrs 398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		metss2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
16	15	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17		metcl 13147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
18	16, 3, 4, 17	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	10	rpred 9653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
20	19, 6	remulcld 7950	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21		lelttr 8008	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
22	18, 20, 8, 21	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
23	14, 22	mpand 427	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
24	11, 23	sylbird 169	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
25	24	ss2rabdv 3228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26		metxmet 13149	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29		simprl 526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
30		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31		rpdivcl 9636	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
32	30, 9, 31	syl2anr 288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
33	32	rpxrd 9654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34		blval 13183	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
35	28, 29, 33, 34	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36		metxmet 13149	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	15, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
38	37	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		rpxr 9618	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ*)
40	39	ad2antll 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41		blval 13183	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
42	38, 29, 40, 41	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
43	25, 35, 42	3sstr4d 3192	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   · cmul 7779  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955   / cdiv 8589  ℝ⁺crp 9610  ∞Metcxmet 12774  Metcmet 12775  ballcbl 12776  MetOpencmopn 12779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-rp 9611  df-xadd 9730  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784

This theorem is referenced by:  metss2  13292