ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metss2lem GIF version

Theorem metss2lem 14000
Description: Lemma for metss2 14001. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
metss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 488 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 simplrl 535 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 simpr 110 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 metcl 13856 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 536 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 9696 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 488 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 9745 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1312anassrs 400 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1413adantlrr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 metcl 13856 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 9696 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 7988 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 8046 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 429 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 170 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 3237 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 13858 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
271, 26syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2827adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
29 simprl 529 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
30 simpr 110 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 9679 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 290 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 9697 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 13892 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1238 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 13858 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3715, 36syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3837adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
39 rpxr 9661 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 491 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 13892 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1238 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 3201 1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„cr 7810   Β· cmul 7816  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993   / cdiv 8629  β„+crp 9653  βˆžMetcxmet 13443  Metcmet 13444  ballcbl 13445  MetOpencmopn 13448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-rp 9654  df-xadd 9773  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453
This theorem is referenced by:  metss2  14001
  Copyright terms: Public domain W3C validator