Theorem bdmet 15293

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
bdmet	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9939	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 9943	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		stdbdmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
5	4	bdxmet 15292	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3expb 1231	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	3, 6	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		xmetcl 15143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
11	1	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12		xrmincl 11887	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14		rpre 9938	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
16		xmetge0 15156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
17	16	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
19		rpge0 9944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
20	19	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
21		0xr 8269	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
22		xrlemininf 11892	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
24	18, 20, 23	mpbir2and 953	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
25		xrmin2inf 11889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
26	10, 11, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
27		xrrege0 10103	. . . . 5 ⊢ (((inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
29	28	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
30	4	fmpo 6375	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31	29, 30	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32		ismet2 15145	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
33	7, 31, 32	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  {cpr 3674   class class class wbr 4093   × cxp 4729  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  infcinf 7225  ℝcr 8074  0cc0 8075  ℝ^*cxr 8256   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℝ⁺crp 9931  ∞Metcxmet 14612  Metcmet 14613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-icc 10173  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-xmet 14620  df-met 14621

This theorem is referenced by:  mopnex  15296