Theorem bdmet 13296

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
bdmet	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9618	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 9622	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		stdbdmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
5	4	bdxmet 13295	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3expb 1199	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	3, 6	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		xmetcl 13146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3expb 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
10	9	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
11	1	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12		xrmincl 11229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13	10, 11, 12	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14		rpre 9617	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
16		xmetge0 13159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
17	16	3expb 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
18	17	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
19		rpge0 9623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
20	19	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
21		0xr 7966	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
22		xrlemininf 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1337	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
24	18, 20, 23	mpbir2and 939	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
25		xrmin2inf 11231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
26	10, 11, 25	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
27		xrrege0 9782	. . . . 5 ⊢ (((inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1234	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
29	28	ralrimivva 2552	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
30	4	fmpo 6180	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
31	29, 30	sylib 121	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32		ismet2 13148	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
33	7, 31, 32	sylanbrc 415	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  {cpr 3584   class class class wbr 3989   × cxp 4609  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  infcinf 6960  ℝcr 7773  0cc0 7774  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℝ⁺crp 9610  ∞Metcxmet 12774  Metcmet 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-xmet 12782  df-met 12783

This theorem is referenced by:  mopnex  13299