ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet GIF version

Theorem bdmet 14005
Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdmet ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9661 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 9665 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝑅)
31, 2jca 306 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
54bdxmet 14004 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
653expb 1204 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
73, 6sylan2 286 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 xmetcl 13855 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1204 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrmincl 11274 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14 rpre 9660 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 xmetge0 13868 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
17163expb 1204 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
1817adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
19 rpge0 9666 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
2019ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
21 0xr 8004 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
22 xrlemininf 11279 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ 0 ≀ 𝑅)))
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1342 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (0 ≀ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ 0 ≀ 𝑅)))
2418, 20, 23mpbir2and 944 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
25 xrmin2inf 11276 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)
2610, 11, 25syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)
27 xrrege0 9825 . . . . 5 (((inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≀ 𝑅)) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1239 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2928ralrimivva 2559 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
304fmpo 6202 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
3129, 30sylib 122 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
32 ismet2 13857 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
337, 31, 32sylanbrc 417 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {cpr 3594   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  infcinf 6982  β„cr 7810  0cc0 7811  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993  β„+crp 9653  βˆžMetcxmet 13443  Metcmet 13444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-icc 9895  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-xmet 13451  df-met 13452
This theorem is referenced by:  mopnex  14008
  Copyright terms: Public domain W3C validator