Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmet GIF version

Theorem bdmet 12730
 Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdmet ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmet
StepHypRef Expression
1 rpxr 9498 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 9502 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 304 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 stdbdmet.1 . . . . 5 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
54bdxmet 12729 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
653expb 1183 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
73, 6sylan2 284 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 xmetcl 12580 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
983expb 1183 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
109adantlr 469 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*)
111ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrmincl 11087 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14 rpre 9497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1514ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
16 xmetge0 12593 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
17163expb 1183 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
1817adantlr 469 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑦))
19 rpge0 9503 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
2019ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ 𝑅)
21 0xr 7856 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
22 xrlemininf 11092 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
2321, 10, 11, 22mp3an2i 1321 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ 0 ≤ 𝑅)))
2418, 20, 23mpbir2and 929 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
25 xrmin2inf 11089 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
2610, 11, 25syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
27 xrrege0 9658 . . . . 5 (((inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2813, 15, 24, 26, 27syl22anc 1218 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2928ralrimivva 2518 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
304fmpo 6108 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3129, 30sylib 121 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32 ismet2 12582 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
337, 31, 32sylanbrc 414 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {cpr 3534   class class class wbr 3938   × cxp 4546  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  infcinf 6880  ℝcr 7663  0cc0 7664  ℝ*cxr 7843   < clt 7844   ≤ cle 7845  ℝ+crp 9490  ∞Metcxmet 12208  Metcmet 12209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-map 6553  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-icc 9728  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-xmet 12216  df-met 12217 This theorem is referenced by:  mopnex  12733
 Copyright terms: Public domain W3C validator