ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 GIF version

Theorem metcnpi3 14502
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 14501 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnpi3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2metcnpi2 14501 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))
4 rphalfcl 9717 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
54ad2antrl 490 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 533 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
81mopntopon 14428 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
112mopntopon 14428 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 13999 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
15 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
16 cnprcl2k 14191 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃𝑋)
179, 14, 15, 16syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 14337 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑃𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
196, 7, 17, 18syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
204ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 9733 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
22 rpxr 9697 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 490 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
24 rphalflt 9719 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
26 xrlelttr 9842 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2726expcomd 1452 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
2827imp 124 . . . . . . . 8 ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2919, 21, 23, 25, 28syl31anc 1252 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
30 cnpf2 14192 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
319, 12, 15, 30syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
3231, 7ffvelcdmd 5676 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
3331, 17ffvelcdmd 5676 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
34 xmetcl 14337 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
3510, 32, 33, 34syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
36 simplrr 536 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3736rpxrd 9733 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38 xrltle 9834 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
3935, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
4029, 39imim12d 74 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4140anassrs 400 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4241ralimdva 2557 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4342impr 379 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
44 breq2 4025 . . . 4 (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
4544rspceaimv 2864 . . 3 (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
465, 43, 45syl2anc 411 . 2 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
473, 46rexlimddv 2612 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469   class class class wbr 4021  wf 5234  cfv 5238  (class class class)co 5900  *cxr 8026   < clt 8027  cle 8028   / cdiv 8664  2c2 9005  +crp 9689  ∞Metcxmet 13874  MetOpencmopn 13879  Topctop 13982  TopOnctopon 13995   CnP ccnp 14171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-map 6680  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-xneg 9808  df-xadd 9809  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-topgen 12776  df-psmet 13881  df-xmet 13882  df-bl 13884  df-mopn 13885  df-top 13983  df-topon 13996  df-bases 14028  df-cnp 14174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator