Theorem metcnpi3 15508

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 15507 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnpi2 15507	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))
4		rphalfcl 10032	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8	1	mopntopon 15434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	mopntopon 15434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13		topontop 15005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
15		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
16		cnprcl2k 15197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
20	4	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 10048	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
22		rpxr 10012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
24		rphalflt 10034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
26		xrlelttr 10158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
27	26	expcomd 1487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
30		cnpf2 15198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31, 7	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
33	31, 17	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
34		xmetcl 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
36		simplrr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 10048	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38		xrltle 10150	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
41	40	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
42	41	ralimdva 2611	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
43	42	impr 379	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
44		breq2 4118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
45	44	rspceaimv 2932	. . 3 ⊢ (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
46	5, 43, 45	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
47	3, 46	rexlimddv 2667	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325   / cdiv 8963  2c2 9305  ℝ⁺crp 10004  ∞Metcxmet 14810  MetOpencmopn 14815  Topctop 14988  TopOnctopon 15001   CnP ccnp 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cnp 15180

This theorem is referenced by: (None)