Theorem metcnpi3 15618

Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 15617 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnpi3	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnpi2 15617	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))
4		rphalfcl 10082	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	ad2antrl 494	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8	1	mopntopon 15544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9	6, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		simpllr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
11	2	mopntopon 15544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13		topontop 15115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
15		simplrl 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
16		cnprcl2k 15307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	9, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 15453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
20	4	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
21	20	rpxrd 10098	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
22		rpxr 10062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
24		rphalflt 10084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
25	24	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
26		xrlelttr 10208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
27	26	expcomd 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
28	27	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
29	19, 21, 23, 25, 28	syl31anc 1281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
30		cnpf2 15308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
31	9, 12, 15, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
32	31, 7	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
33	31, 17	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
34		xmetcl 15453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ*)
36		simplrr 542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	36	rpxrd 10098	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38		xrltle 10200	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
39	35, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
40	29, 39	imim12d 74	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
41	40	anassrs 404	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
42	41	ralimdva 2617	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)))
43	42	impr 379	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
44		breq2 4134	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
45	44	rspceaimv 2938	. . 3 ⊢ (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
46	5, 43, 45	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))
47	3, 46	rexlimddv 2673	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   ≤ cle 8361   / cdiv 9002  2c2 9355  ℝ⁺crp 10054  ∞Metcxmet 14873  MetOpencmopn 14878  Topctop 15098  TopOnctopon 15111   CnP ccnp 15287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cnp 15290

This theorem is used by: (None)