ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 GIF version

Theorem metcnpi3 12700
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 12699 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnpi3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2metcnpi2 12699 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))
4 rphalfcl 9481 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
54ad2antrl 481 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 522 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simprr 521 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
81mopntopon 12626 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpllr 523 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
112mopntopon 12626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 12195 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
15 simplrl 524 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
16 cnprcl2k 12389 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃𝑋)
179, 14, 15, 16syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 12535 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑃𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
196, 7, 17, 18syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
204ad2antrl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 9496 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
22 rpxr 9461 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
24 rphalflt 9483 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
2524ad2antrl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
26 xrlelttr 9601 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2726expcomd 1417 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
2827imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2919, 21, 23, 25, 28syl31anc 1219 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
30 cnpf2 12390 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
319, 12, 15, 30syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
3231, 7ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
3331, 17ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
34 xmetcl 12535 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
3510, 32, 33, 34syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
36 simplrr 525 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3736rpxrd 9496 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38 xrltle 9596 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
3935, 37, 38syl2anc 408 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
4029, 39imim12d 74 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4140anassrs 397 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4241ralimdva 2499 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4342impr 376 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
44 breq2 3933 . . . 4 (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
4544rspceaimv 2797 . . 3 (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
465, 43, 45syl2anc 408 . 2 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
473, 46rexlimddv 2554 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   class class class wbr 3929  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  *cxr 7811   < clt 7812  cle 7813   / cdiv 8444  2c2 8783  +crp 9453  ∞Metcxmet 12163  MetOpencmopn 12168  Topctop 12178  TopOnctopon 12191   CnP ccnp 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cnp 12372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator