Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnpi3 GIF version

Theorem metcnpi3 12506
 Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at 𝑃. A variation of metcnpi2 12505 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnpi3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2metcnpi2 12505 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))
4 rphalfcl 9370 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
54ad2antrl 479 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 505 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simprr 504 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
81mopntopon 12432 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
96, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 simpllr 506 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
112mopntopon 12432 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 12024 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
15 simplrl 507 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
16 cnprcl2k 12217 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃𝑋)
179, 14, 15, 16syl3anc 1199 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 12341 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑃𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
196, 7, 17, 18syl3anc 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ*)
204ad2antrl 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 9383 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ*)
22 rpxr 9350 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 479 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
24 rphalflt 9372 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
2524ad2antrl 479 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
26 xrlelttr 9482 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2726expcomd 1400 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)))
2827imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
2919, 21, 23, 25, 28syl31anc 1202 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))
30 cnpf2 12218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋𝑌)
319, 12, 15, 30syl3anc 1199 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
3231, 7ffvelrnd 5510 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
3331, 17ffvelrnd 5510 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
34 xmetcl 12341 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
3510, 32, 33, 34syl3anc 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*)
36 simplrr 508 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3736rpxrd 9383 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
38 xrltle 9477 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
3935, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
4029, 39imim12d 74 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4140anassrs 395 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4241ralimdva 2473 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)))
4342impr 374 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
44 breq2 3899 . . . 4 (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2)))
4544rspceaimv 2767 . . 3 (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
465, 43, 45syl2anc 406 . 2 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
473, 46rexlimddv 2528 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑃)) ≤ 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390  ∃wrex 2391   class class class wbr 3895  ⟶wf 5077  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  ℝ*cxr 7723   < clt 7724   ≤ cle 7725   / cdiv 8345  2c2 8681  ℝ+crp 9343  ∞Metcxmet 11992  MetOpencmopn 11997  Topctop 12007  TopOnctopon 12020   CnP ccnp 12198 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cnp 12201 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator