Theorem mopnex 15219

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopnex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9882	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))
3	2	bdmet 15216	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋))
4	1, 3	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋))
5		rpxr 9886	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
7		0lt1 8296	. . 3 ⊢ 0 < 1
8		mopnex.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9	2, 8	bdmopn 15218	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
10	6, 7, 9	mp3an23 1363	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
11		fveq2 5635	. . 3 ⊢ (𝑑 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
12	11	rspceeqv 2926	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
13	4, 10, 12	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  {cpr 3668   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015  infcinf 7173  0cc0 8022  1c1 8023  ℝ^*cxr 8203   < clt 8204  ℝ⁺crp 9878  ∞Metcxmet 14540  Metcmet 14541  MetOpencmopn 14545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-icc 10120  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-bases 14757

This theorem is referenced by: (None)