Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopnex GIF version

Theorem mopnex 12711
 Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnex.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopnex (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑑   𝐽,𝑑   𝑋,𝑑

Proof of Theorem mopnex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 9473 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 eqid 2140 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))
32bdmet 12708 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋))
41, 3mpan2 422 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋))
5 rpxr 9477 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
61, 5ax-mp 5 . . 3 1 ∈ ℝ*
7 0lt1 7912 . . 3 0 < 1
8 mopnex.1 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
92, 8bdmopn 12710 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
106, 7, 9mp3an23 1308 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
11 fveq2 5428 . . 3 (𝑑 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < ))))
1211rspceeqv 2810 . 2 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐷𝑦), 1}, ℝ*, < )))) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
134, 10, 12syl2anc 409 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  {cpr 3532   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781   ∈ cmpo 5783  infcinf 6877  0cc0 7643  1c1 7644  ℝ*cxr 7822   < clt 7823  ℝ+crp 9469  ∞Metcxmet 12186  Metcmet 12187  MetOpencmopn 12191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-icc 9707  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-bases 12247 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator