Theorem metcnp 15180

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnp	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnp3 15179	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
4		ffun 5475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹)
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → Fun 𝐹)
6		simpll1 1060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		simpll3 1062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8		rpxr 9853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ*)
9	8	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10		blssm 15089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
12		fdm 5478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
13	12	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → dom 𝐹 = 𝑋)
14	11, 13	sseqtrrd 3263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹)
15		funimass4 5683	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
16	5, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
17		elbl 15059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
18	6, 7, 9, 17	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
19	18	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
20		impexp 263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
21		simpl2 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
23		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24	23	rpxrd 9889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
26	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
27	25, 26	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
29	28	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌)
30		elbl2 15061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))
31	22, 24, 27, 29, 30	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
33	32	pm5.74da 443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
34	20, 33	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
35	19, 34	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
36	35	ralbidv2 2532	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
37	16, 36	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
38	37	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
39	38	rexbidva 2527	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
40	39	ralbidva 2526	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))
41	40	pm5.32da 452	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
42	3, 41	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  dom cdm 4718   “ cima 4721  Fun wfun 5311  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177  ℝ⁺crp 9845  ∞Metcxmet 14494  ballcbl 14496  MetOpencmopn 14499   CnP ccnp 14854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-cnp 14857

This theorem is referenced by:  metcnp2  15181  metcn  15182  metcnpi  15183  txmetcnp  15186  metcnpd  15188