Theorem blnei 15727

Description: A ball around a point is a neighborhood of the point. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
blnei	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem blnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntop 15679	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3	2	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
4		rpxr 10077	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
5	1	blopn 15725	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)
6	4, 5	syl3an3 1313	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽)
7		blcntr 15651	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
8		opnneip 15394	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝ^*cxr 8364  ℝ⁺crp 10069  ∞Metcxmet 14980  ballcbl 14982  MetOpencmopn 14985  Topctop 15232  neicnei 15373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-mulrcl 8283  ax-addcom 8284  ax-mulcom 8285  ax-addass 8286  ax-mulass 8287  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-1rid 8291  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-precex 8294  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltwlin 8297  ax-pre-lttrn 8298  ax-pre-apti 8299  ax-pre-ltadd 8300  ax-pre-mulgt0 8301  ax-pre-mulext 8302  ax-arch 8303  ax-caucvg 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-map 6929  df-sup 7329  df-inf 7330  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-xr 8369  df-ltxr 8370  df-le 8371  df-sub 8505  df-neg 8506  df-reap 8910  df-ap 8917  df-div 9010  df-inn 9313  df-2 9371  df-3 9372  df-4 9373  df-n0 9574  df-z 9653  df-uz 9936  df-q 10034  df-rp 10070  df-xneg 10189  df-xadd 10190  df-seqfrec 10904  df-exp 10995  df-cj 11627  df-re 11628  df-im 11629  df-rsqrt 11784  df-abs 11785  df-topgen 13671  df-psmet 14987  df-xmet 14988  df-bl 14990  df-mopn 14991  df-top 15233  df-topon 15246  df-bases 15278  df-nei 15374

This theorem is used by: (None)