ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnbl GIF version

Theorem unirnbl 13859
Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
unirnbl (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blf 13846 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21frnd 5375 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3 sspwuni 3971 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
42, 3sylib 122 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5 1rp 9656 . . . 4 1 ∈ ℝ+
6 blcntr 13852 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
75, 6mp3an3 1326 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8 rpxr 9660 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
95, 8ax-mp 5 . . . 4 1 ∈ ℝ*
10 blelrn 13856 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
119, 10mp3an3 1326 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
12 elunii 3814 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
137, 11, 12syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
144, 13eqelssd 3174 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  𝒫 cpw 3575   cuni 3809   × cxp 4624  ran crn 4627  cfv 5216  (class class class)co 5874  1c1 7811  *cxr 7990  +crp 9652  ∞Metcxmet 13376  ballcbl 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-rnegex 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-rp 9653  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-bl 13386
This theorem is referenced by:  blbas  13869  mopntopon  13879  elmopn  13882  metss  13930  xmettx  13946
  Copyright terms: Public domain W3C validator