ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neibl GIF version

Theorem neibl 14468
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 14421 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 14422 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54eleq2d 2259 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃𝑋𝑃 𝐽))
65biimpa 296 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃 𝐽)
7 eqid 2189 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87isneip 14123 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
104sseq2d 3200 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1110adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1211anbi1d 465 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
131mopni2 14460 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14 sstr2 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1514com12 30 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1615reximdv 2591 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1713, 16syl5com 29 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18173exp 1204 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
1918imp4a 349 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2019ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2120rexlimdv 2606 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22 rpxr 9693 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
231blopn 14467 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1284 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25 blcntr 14393 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑦𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27 sseq1 3193 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
2826, 27anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2928rspcev 2856 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))
3029expr 375 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
32313expia 1207 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
3332rexlimdv 2606 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3433adantr 276 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3521, 34impbid 129 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
3635pm5.32da 452 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 216 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  wss 3144  {csn 3607   cuni 3824  cfv 5235  (class class class)co 5897  *cxr 8022  +crp 9685  ∞Metcxmet 13866  ballcbl 13868  MetOpencmopn 13871  Topctop 13974  neicnei 14115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-nei 14116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator