ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neibl GIF version
Theorem neibl 13994
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ÿ   𝐽,π‘Ÿ   𝑁,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑋,π‘Ÿ
Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopntop 13947 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
32adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 13948 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
54eleq2d 2247 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ↔ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽))
65biimpa 296 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7 eqid 2177 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
87isneip 13649 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
104sseq2d 3186 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑁 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽))
1110adantr 276 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽))
1211anbi1d 465 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)) ↔ (𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
131mopni2 13986 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
14 sstr2 3163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1514com12 30 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1615reximdv 2578 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
1713, 16syl5com 29 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
18173exp 1202 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))))
1918imp4a 349 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2019ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2120rexlimdv 2593 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
22 rpxr 9661 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
231blopn 13993 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1273 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽)
25 blcntr 13919 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
26 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
27 sseq1 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑁 ↔ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
2826, 27anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
2928rspcev 2842 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∧ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))
3029expr 375 . . . . . . . 8 (((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
32313expia 1205 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁))))
3332rexlimdv 2593 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3433adantr 276 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)))
3521, 34impbid 129 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁))
3635pm5.32da 452 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑁)) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 216 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ↔ (𝑁 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3130  {csn 3593  βˆͺ cuni 3810  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„*cxr 7991  β„+crp 9653  βˆžMetcxmet 13443  ballcbl 13445  MetOpencmopn 13448  Topctop 13500  neicnei 13641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-nei 13642
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator