ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neibl GIF version

Theorem neibl 12480
Description: The neighborhoods around a point 𝑃 of a metric space are those subsets containing a ball around 𝑃. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
neibl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝐽,𝑟   𝑁,𝑟   𝑃,𝑟   𝑋,𝑟

Proof of Theorem neibl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 12433 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 272 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 12434 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54eleq2d 2184 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃𝑋𝑃 𝐽))
65biimpa 292 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃 𝐽)
7 eqid 2115 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87isneip 12158 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
93, 6, 8syl2anc 406 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
104sseq2d 3093 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1110adantr 272 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑋𝑁 𝐽))
1211anbi1d 458 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
131mopni2 12472 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
14 sstr2 3070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑦𝑁 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1514com12 30 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑁 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1615reximdv 2507 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑁 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
1713, 16syl5com 29 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑃𝑦) → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
18173exp 1163 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → (𝑃𝑦 → (𝑦𝑁 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))))
1918imp4a 344 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2019ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (𝑦𝐽 → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2120rexlimdv 2522 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
22 rpxr 9350 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
231blopn 12479 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
2422, 23syl3an3 1234 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽)
25 blcntr 12405 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
26 eleq2 2178 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑦𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
27 sseq1 3086 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
2826, 27anbi12d 462 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
2928rspcev 2760 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))
3029expr 370 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐽𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3124, 25, 30syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
32313expia 1166 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁))))
3332rexlimdv 2522 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3433adantr 272 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)))
3521, 34impbid 128 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑁𝑋) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁))
3635pm5.32da 445 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦𝑦𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
379, 12, 363bitr2d 215 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wrex 2391  wss 3037  {csn 3493   cuni 3702  cfv 5081  (class class class)co 5728  *cxr 7723  +crp 9343  ∞Metcxmet 11992  ballcbl 11994  MetOpencmopn 11997  Topctop 12007  neicnei 12150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-nei 12151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator