Theorem rexrd 8381

Description: A standard real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rexrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 8375	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		rexrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	sselid 3246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184  ℝ^*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-xr 8370

This theorem is used by:  xnn0xr  9646  rpxr  10079  rpxrd  10115  xnn0dcle  10221  xnegcl  10251  xaddf  10263  xaddval  10264  xnn0lenn0nn0  10284  xposdif  10301  iooshf  10371  icoshftf1o  10410  ioo0  10711  ioom  10712  ico0  10713  ioc0  10714  xqltnle  10719  modqelico  10792  mulqaddmodid  10822  addmodid  10830  elicc4abs  11883  xrmaxiflemcl  12036  fprodge1  12431  pcxcl  13119  pcdvdsb  13128  pcaddlem  13147  pcadd  13148  xblss2ps  15630  xblss2  15631  blss2ps  15632  blss2  15633  blhalf  15634  cnblcld  15761  ioo2blex  15778  tgioo  15780  cnopnap  15837  suplociccreex  15850  suplociccex  15851  dedekindicc  15859  ivthinclemlm  15860  ivthinclemum  15861  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  ivthdec  15870  ivthreinc  15871  sin0pilem2  16009  pilem3  16010  vtxdgfifival  16737