Theorem rexrd 8381

Description: A standard real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rexrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 8375	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		rexrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	sselid 3246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℝcr 8184  ℝ^*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-xr 8370

This theorem is used by:  xnn0xr  9644  rpxr  10078  rpxrd  10114  xnn0dcle  10220  xnegcl  10250  xaddf  10262  xaddval  10263  xnn0lenn0nn0  10283  xposdif  10300  iooshf  10370  icoshftf1o  10409  ioo0  10710  ioom  10711  ico0  10712  ioc0  10713  xqltnle  10718  modqelico  10791  mulqaddmodid  10821  addmodid  10829  elicc4abs  11882  xrmaxiflemcl  12035  fprodge1  12430  pcxcl  13118  pcdvdsb  13127  pcaddlem  13146  pcadd  13147  xblss2ps  15647  xblss2  15648  blss2ps  15649  blss2  15650  blhalf  15651  cnblcld  15778  ioo2blex  15795  tgioo  15797  cnopnap  15854  suplociccreex  15867  suplociccex  15868  dedekindicc  15876  ivthinclemlm  15877  ivthinclemum  15878  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemuopn  15881  ivthdec  15887  ivthreinc  15888  sin0pilem2  16026  pilem3  16027  vtxdgfifival  16754