Theorem rpre 9939

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9933	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3313	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3260	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8256  ℝ⁺crp 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-in 3207  df-ss 3214  df-rp 9933

This theorem is referenced by:  rpxr  9940  rpcn  9941  rpssre  9943  rpge0  9945  rprege0  9947  rpap0  9949  rprene0  9950  rpreap0  9951  rpaddcl  9956  rpmulcl  9957  rpdivcl  9958  rpgecl  9961  ledivge1le  10005  addlelt  10047  iccdil  10277  expnlbnd  10972  caucvgre  11604  rennim  11625  rpsqrtcl  11664  qdenre  11825  rpmaxcl  11846  rpmincl  11861  xrminrpcl  11897  2clim  11924  cn1lem  11937  climsqz  11958  climsqz2  11959  climcau  11970  efgt1  12321  ef01bndlem  12380  sinltxirr  12385  bdmet  15296  bdmopn  15298  dveflem  15520  reeff1o  15567  logleb  15669  logrpap0b  15670  cxple3  15715  rpcxpsqrt  15716  rpcxpsqrtth  15724  dceqnconst  16776  dcapnconst  16777