Theorem rpre 9729

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9723	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3265	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3212	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3176	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  0cc0 7874   < clt 8056  ℝ⁺crp 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-in 3160  df-ss 3167  df-rp 9723

This theorem is referenced by:  rpxr  9730  rpcn  9731  rpssre  9733  rpge0  9735  rprege0  9737  rpap0  9739  rprene0  9740  rpreap0  9741  rpaddcl  9746  rpmulcl  9747  rpdivcl  9748  rpgecl  9751  ledivge1le  9795  addlelt  9837  iccdil  10067  expnlbnd  10738  caucvgre  11128  rennim  11149  rpsqrtcl  11188  qdenre  11349  rpmaxcl  11370  rpmincl  11384  xrminrpcl  11420  2clim  11447  cn1lem  11460  climsqz  11481  climsqz2  11482  climcau  11493  efgt1  11843  ef01bndlem  11902  sinltxirr  11907  bdmet  14681  bdmopn  14683  dveflem  14905  reeff1o  14949  logleb  15051  logrpap0b  15052  cxple3  15096  rpcxpsqrt  15097  rpcxpsqrtth  15105  dceqnconst  15620  dcapnconst  15621