Theorem rpre 10061

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10055	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  ℝ⁺crp 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10055

This theorem is used by:  rpxr  10062  rpcn  10063  rpssre  10065  rpge0  10067  rprege0  10069  rpap0  10071  rprene0  10072  rpreap0  10073  rpaddcl  10078  rpmulcl  10079  rpdivcl  10080  rpgecl  10083  ledivge1le  10127  addlelt  10169  iccdil  10400  expnlbnd  11102  caucvgre  11747  rennim  11768  rpsqrtcl  11807  qdenre  11968  rpmaxcl  11989  rpmincl  12004  xrminrpcl  12040  2clim  12067  cn1lem  12080  climsqz  12101  climsqz2  12102  climcau  12113  efgt1  12464  ef01bndlem  12523  sinltxirr  12528  bdmet  15603  bdmopn  15605  dveflem  15827  reeff1o  15874  logleb  15976  logrpap0b  15977  cxple3  16023  rpcxpsqrt  16024  rpcxpsqrtth  16032  dceqnconst  17110  dcapnconst  17111