Theorem rpre 9894

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9888	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3312	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3259	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213  ℝ⁺crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-in 3206  df-ss 3213  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  rpxr  9895  rpcn  9896  rpssre  9898  rpge0  9900  rprege0  9902  rpap0  9904  rprene0  9905  rpreap0  9906  rpaddcl  9911  rpmulcl  9912  rpdivcl  9913  rpgecl  9916  ledivge1le  9960  addlelt  10002  iccdil  10232  expnlbnd  10925  caucvgre  11541  rennim  11562  rpsqrtcl  11601  qdenre  11762  rpmaxcl  11783  rpmincl  11798  xrminrpcl  11834  2clim  11861  cn1lem  11874  climsqz  11895  climsqz2  11896  climcau  11907  efgt1  12257  ef01bndlem  12316  sinltxirr  12321  bdmet  15225  bdmopn  15227  dveflem  15449  reeff1o  15496  logleb  15598  logrpap0b  15599  cxple3  15644  rpcxpsqrt  15645  rpcxpsqrtth  15653  dceqnconst  16664  dcapnconst  16665