Theorem rpre 9596

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9590	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3227	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3174	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3138	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  {crab 2448   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933  ℝ⁺crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-in 3122  df-ss 3129  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  rpxr  9597  rpcn  9598  rpssre  9600  rpge0  9602  rprege0  9604  rpap0  9606  rprene0  9607  rpreap0  9608  rpaddcl  9613  rpmulcl  9614  rpdivcl  9615  rpgecl  9618  ledivge1le  9662  addlelt  9704  iccdil  9934  expnlbnd  10579  caucvgre  10923  rennim  10944  rpsqrtcl  10983  qdenre  11144  rpmaxcl  11165  rpmincl  11179  xrminrpcl  11215  2clim  11242  cn1lem  11255  climsqz  11276  climsqz2  11277  climcau  11288  efgt1  11638  ef01bndlem  11697  bdmet  13152  bdmopn  13154  dveflem  13337  reeff1o  13344  logleb  13446  logrpap0b  13447  cxple3  13491  rpcxpsqrt  13492  rpcxpsqrtth  13500  dceqnconst  13948  dcapnconst  13949