Theorem rpre 9194

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9189	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3107	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3057	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3022	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1439  {crab 2364   class class class wbr 3851  ℝcr 7403  0cc0 7404   < clt 7576  ℝ⁺crp 9188

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rab 2369  df-in 3006  df-ss 3013  df-rp 9189

This theorem is referenced by:  rpxr  9195  rpcn  9196  rpssre  9198  rpge0  9200  rprege0  9202  rpap0  9204  rprene0  9205  rpreap0  9206  rpaddcl  9211  rpmulcl  9212  rpdivcl  9213  rpgecl  9216  ledivge1le  9257  addlelt  9293  iccdil  9469  expnlbnd  10132  caucvgre  10468  rennim  10489  rpsqrtcl  10528  qdenre  10689  2clim  10743  cn1lem  10756  climsqz  10777  climsqz2  10778  climcau  10790  efgt1  11041  ef01bndlem  11101