Theorem rpre 9678

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9672	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3255	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3202	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3166	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  {crab 2472   class class class wbr 4018  ℝcr 7828  0cc0 7829   < clt 8010  ℝ⁺crp 9671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rab 2477  df-in 3150  df-ss 3157  df-rp 9672

This theorem is referenced by:  rpxr  9679  rpcn  9680  rpssre  9682  rpge0  9684  rprege0  9686  rpap0  9688  rprene0  9689  rpreap0  9690  rpaddcl  9695  rpmulcl  9696  rpdivcl  9697  rpgecl  9700  ledivge1le  9744  addlelt  9786  iccdil  10016  expnlbnd  10663  caucvgre  11008  rennim  11029  rpsqrtcl  11068  qdenre  11229  rpmaxcl  11250  rpmincl  11264  xrminrpcl  11300  2clim  11327  cn1lem  11340  climsqz  11361  climsqz2  11362  climcau  11373  efgt1  11723  ef01bndlem  11782  bdmet  14399  bdmopn  14401  dveflem  14584  reeff1o  14591  logleb  14693  logrpap0b  14694  cxple3  14738  rpcxpsqrt  14739  rpcxpsqrtth  14747  dceqnconst  15206  dcapnconst  15207