Theorem rpre 9993

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9987	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3323	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3270	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  {crab 2524   class class class wbr 4109  ℝcr 8126  0cc0 8127   < clt 8308  ℝ⁺crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-in 3217  df-ss 3224  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  rpxr  9994  rpcn  9995  rpssre  9997  rpge0  9999  rprege0  10001  rpap0  10003  rprene0  10004  rpreap0  10005  rpaddcl  10010  rpmulcl  10011  rpdivcl  10012  rpgecl  10015  ledivge1le  10059  addlelt  10101  iccdil  10331  expnlbnd  11026  caucvgre  11666  rennim  11687  rpsqrtcl  11726  qdenre  11887  rpmaxcl  11908  rpmincl  11923  xrminrpcl  11959  2clim  11986  cn1lem  11999  climsqz  12020  climsqz2  12021  climcau  12032  efgt1  12383  ef01bndlem  12442  sinltxirr  12447  bdmet  15367  bdmopn  15369  dveflem  15591  reeff1o  15638  logleb  15740  logrpap0b  15741  cxple3  15786  rpcxpsqrt  15787  rpcxpsqrtth  15795  dceqnconst  16846  dcapnconst  16847