Theorem rpre 9448

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9442	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3182	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3129	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3093	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  {crab 2420   class class class wbr 3929  ℝcr 7619  0cc0 7620   < clt 7800  ℝ⁺crp 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rab 2425  df-in 3077  df-ss 3084  df-rp 9442

This theorem is referenced by:  rpxr  9449  rpcn  9450  rpssre  9452  rpge0  9454  rprege0  9456  rpap0  9458  rprene0  9459  rpreap0  9460  rpaddcl  9465  rpmulcl  9466  rpdivcl  9467  rpgecl  9470  ledivge1le  9513  addlelt  9555  iccdil  9781  expnlbnd  10416  caucvgre  10753  rennim  10774  rpsqrtcl  10813  qdenre  10974  rpmaxcl  10995  rpmincl  11009  xrminrpcl  11043  2clim  11070  cn1lem  11083  climsqz  11104  climsqz2  11105  climcau  11116  efgt1  11403  ef01bndlem  11463  bdmet  12671  bdmopn  12673  dveflem  12855