Theorem rpre 9573

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9567	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3213	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3160	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3124	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  {crab 2439   class class class wbr 3967  ℝcr 7733  0cc0 7734   < clt 7914  ℝ⁺crp 9566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rab 2444  df-in 3108  df-ss 3115  df-rp 9567

This theorem is referenced by:  rpxr  9574  rpcn  9575  rpssre  9577  rpge0  9579  rprege0  9581  rpap0  9583  rprene0  9584  rpreap0  9585  rpaddcl  9590  rpmulcl  9591  rpdivcl  9592  rpgecl  9595  ledivge1le  9639  addlelt  9681  iccdil  9908  expnlbnd  10551  caucvgre  10892  rennim  10913  rpsqrtcl  10952  qdenre  11113  rpmaxcl  11134  rpmincl  11148  xrminrpcl  11182  2clim  11209  cn1lem  11222  climsqz  11243  climsqz2  11244  climcau  11255  efgt1  11605  ef01bndlem  11664  bdmet  12972  bdmopn  12974  dveflem  13157  reeff1o  13164  logleb  13266  logrpap0b  13267  cxple3  13311  rpcxpsqrt  13312  rpcxpsqrtth  13320  dceqnconst  13701  dcapnconst  13702