Theorem rpre 9781

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9775	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3277	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3224	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3188	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  {crab 2487   class class class wbr 4043  ℝcr 7923  0cc0 7924   < clt 8106  ℝ⁺crp 9774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rab 2492  df-in 3171  df-ss 3178  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  rpxr  9782  rpcn  9783  rpssre  9785  rpge0  9787  rprege0  9789  rpap0  9791  rprene0  9792  rpreap0  9793  rpaddcl  9798  rpmulcl  9799  rpdivcl  9800  rpgecl  9803  ledivge1le  9847  addlelt  9889  iccdil  10119  expnlbnd  10807  caucvgre  11263  rennim  11284  rpsqrtcl  11323  qdenre  11484  rpmaxcl  11505  rpmincl  11520  xrminrpcl  11556  2clim  11583  cn1lem  11596  climsqz  11617  climsqz2  11618  climcau  11629  efgt1  11979  ef01bndlem  12038  sinltxirr  12043  bdmet  14945  bdmopn  14947  dveflem  15169  reeff1o  15216  logleb  15318  logrpap0b  15319  cxple3  15364  rpcxpsqrt  15365  rpcxpsqrtth  15373  dceqnconst  15961  dcapnconst  15962