Theorem rpre 9752

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9746	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3269	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3216	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078  ℝ⁺crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  rpxr  9753  rpcn  9754  rpssre  9756  rpge0  9758  rprege0  9760  rpap0  9762  rprene0  9763  rpreap0  9764  rpaddcl  9769  rpmulcl  9770  rpdivcl  9771  rpgecl  9774  ledivge1le  9818  addlelt  9860  iccdil  10090  expnlbnd  10773  caucvgre  11163  rennim  11184  rpsqrtcl  11223  qdenre  11384  rpmaxcl  11405  rpmincl  11420  xrminrpcl  11456  2clim  11483  cn1lem  11496  climsqz  11517  climsqz2  11518  climcau  11529  efgt1  11879  ef01bndlem  11938  sinltxirr  11943  bdmet  14822  bdmopn  14824  dveflem  15046  reeff1o  15093  logleb  15195  logrpap0b  15196  cxple3  15241  rpcxpsqrt  15242  rpcxpsqrtth  15250  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792