Theorem rpre 10077

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10071	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℝ⁺crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10071

This theorem is used by:  rpxr  10078  rpcn  10079  rpssre  10081  rpge0  10083  rprege0  10085  rpap0  10087  rprene0  10088  rpreap0  10089  rpaddcl  10094  rpmulcl  10095  rpdivcl  10096  rpgecl  10099  ledivge1le  10143  addlelt  10185  iccdil  10416  expnlbnd  11122  caucvgre  11768  rennim  11789  rpsqrtcl  11828  qdenre  11990  rpmaxcl  12011  rpmincl  12027  xrminrpcl  12064  2clim  12091  cn1lem  12104  climsqz  12125  climsqz2  12126  climcau  12137  efgt1  12488  ef01bndlem  12547  sinltxirr  12552  bdmet  15745  bdmopn  15747  dveflem  15969  reeff1o  16016  logleb  16122  logrpap0b  16123  cxple3  16173  rpcxpsqrt  16174  rpcxpsqrtth  16182  chtqrpcl  16296  bposlem7  16334  bposlem8  16335  bposlem9  16336  dceqnconst  17334  dcapnconst  17335