Theorem rpre 9812

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9806	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3282	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3229	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3193	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  {crab 2489   class class class wbr 4054  ℝcr 7954  0cc0 7955   < clt 8137  ℝ⁺crp 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rab 2494  df-in 3176  df-ss 3183  df-rp 9806

This theorem is referenced by:  rpxr  9813  rpcn  9814  rpssre  9816  rpge0  9818  rprege0  9820  rpap0  9822  rprene0  9823  rpreap0  9824  rpaddcl  9829  rpmulcl  9830  rpdivcl  9831  rpgecl  9834  ledivge1le  9878  addlelt  9920  iccdil  10150  expnlbnd  10841  caucvgre  11377  rennim  11398  rpsqrtcl  11437  qdenre  11598  rpmaxcl  11619  rpmincl  11634  xrminrpcl  11670  2clim  11697  cn1lem  11710  climsqz  11731  climsqz2  11732  climcau  11743  efgt1  12093  ef01bndlem  12152  sinltxirr  12157  bdmet  15059  bdmopn  15061  dveflem  15283  reeff1o  15330  logleb  15432  logrpap0b  15433  cxple3  15478  rpcxpsqrt  15479  rpcxpsqrtth  15487  dceqnconst  16171  dcapnconst  16172