Theorem rpre 10071

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10065	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  ℝ⁺crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10065

This theorem is used by:  rpxr  10072  rpcn  10073  rpssre  10075  rpge0  10077  rprege0  10079  rpap0  10081  rprene0  10082  rpreap0  10083  rpaddcl  10088  rpmulcl  10089  rpdivcl  10090  rpgecl  10093  ledivge1le  10137  addlelt  10179  iccdil  10410  expnlbnd  11115  caucvgre  11761  rennim  11782  rpsqrtcl  11821  qdenre  11983  rpmaxcl  12004  rpmincl  12019  xrminrpcl  12056  2clim  12083  cn1lem  12096  climsqz  12117  climsqz2  12118  climcau  12129  efgt1  12480  ef01bndlem  12539  sinltxirr  12544  bdmet  15652  bdmopn  15654  dveflem  15876  reeff1o  15923  logleb  16027  logrpap0b  16028  cxple3  16076  rpcxpsqrt  16077  rpcxpsqrtth  16085  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209