Theorem rpre 10072

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10066	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361  ℝ⁺crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10066

This theorem is used by:  rpxr  10073  rpcn  10074  rpssre  10076  rpge0  10078  rprege0  10080  rpap0  10082  rprene0  10083  rpreap0  10084  rpaddcl  10089  rpmulcl  10090  rpdivcl  10091  rpgecl  10094  ledivge1le  10138  addlelt  10180  iccdil  10411  expnlbnd  11117  caucvgre  11763  rennim  11784  rpsqrtcl  11823  qdenre  11985  rpmaxcl  12006  rpmincl  12022  xrminrpcl  12059  2clim  12086  cn1lem  12099  climsqz  12120  climsqz2  12121  climcau  12132  efgt1  12483  ef01bndlem  12542  sinltxirr  12547  bdmet  15694  bdmopn  15696  dveflem  15918  reeff1o  15965  logleb  16069  logrpap0b  16070  cxple3  16118  rpcxpsqrt  16119  rpcxpsqrtth  16127  chtqrpcl  16240  bposlem7  16278  bposlem8  16279  bposlem9  16280  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278