Theorem rpre 9868

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9862	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3309	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3256	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4083  ℝcr 8009  0cc0 8010   < clt 8192  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-in 3203  df-ss 3210  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  rpxr  9869  rpcn  9870  rpssre  9872  rpge0  9874  rprege0  9876  rpap0  9878  rprene0  9879  rpreap0  9880  rpaddcl  9885  rpmulcl  9886  rpdivcl  9887  rpgecl  9890  ledivge1le  9934  addlelt  9976  iccdil  10206  expnlbnd  10898  caucvgre  11507  rennim  11528  rpsqrtcl  11567  qdenre  11728  rpmaxcl  11749  rpmincl  11764  xrminrpcl  11800  2clim  11827  cn1lem  11840  climsqz  11861  climsqz2  11862  climcau  11873  efgt1  12223  ef01bndlem  12282  sinltxirr  12287  bdmet  15191  bdmopn  15193  dveflem  15415  reeff1o  15462  logleb  15564  logrpap0b  15565  cxple3  15610  rpcxpsqrt  15611  rpcxpsqrtth  15619  dceqnconst  16488  dcapnconst  16489