Theorem rpre 9735

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9729	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3268	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3215	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3179	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4033  ℝcr 7878  0cc0 7879   < clt 8061  ℝ⁺crp 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9729

This theorem is referenced by:  rpxr  9736  rpcn  9737  rpssre  9739  rpge0  9741  rprege0  9743  rpap0  9745  rprene0  9746  rpreap0  9747  rpaddcl  9752  rpmulcl  9753  rpdivcl  9754  rpgecl  9757  ledivge1le  9801  addlelt  9843  iccdil  10073  expnlbnd  10756  caucvgre  11146  rennim  11167  rpsqrtcl  11206  qdenre  11367  rpmaxcl  11388  rpmincl  11403  xrminrpcl  11439  2clim  11466  cn1lem  11479  climsqz  11500  climsqz2  11501  climcau  11512  efgt1  11862  ef01bndlem  11921  sinltxirr  11926  bdmet  14738  bdmopn  14740  dveflem  14962  reeff1o  15009  logleb  15111  logrpap0b  15112  cxple3  15157  rpcxpsqrt  15158  rpcxpsqrtth  15166  dceqnconst  15704  dcapnconst  15705