Theorem rpre 9754

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9748	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3269	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3216	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898   < clt 8080  ℝ⁺crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-in 3163  df-ss 3170  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  rpxr  9755  rpcn  9756  rpssre  9758  rpge0  9760  rprege0  9762  rpap0  9764  rprene0  9765  rpreap0  9766  rpaddcl  9771  rpmulcl  9772  rpdivcl  9773  rpgecl  9776  ledivge1le  9820  addlelt  9862  iccdil  10092  expnlbnd  10775  caucvgre  11165  rennim  11186  rpsqrtcl  11225  qdenre  11386  rpmaxcl  11407  rpmincl  11422  xrminrpcl  11458  2clim  11485  cn1lem  11498  climsqz  11519  climsqz2  11520  climcau  11531  efgt1  11881  ef01bndlem  11940  sinltxirr  11945  bdmet  14846  bdmopn  14848  dveflem  15070  reeff1o  15117  logleb  15219  logrpap0b  15220  cxple3  15265  rpcxpsqrt  15266  rpcxpsqrtth  15274  dceqnconst  15817  dcapnconst  15818