Theorem rpre 10078

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10072	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3280	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366  ℝ⁺crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10072

This theorem is used by:  rpxr  10079  rpcn  10080  rpssre  10082  rpge0  10084  rprege0  10086  rpap0  10088  rprene0  10089  rpreap0  10090  rpaddcl  10095  rpmulcl  10096  rpdivcl  10097  rpgecl  10100  ledivge1le  10144  addlelt  10186  iccdil  10417  expnlbnd  11123  caucvgre  11769  rennim  11790  rpsqrtcl  11829  qdenre  11991  rpmaxcl  12012  rpmincl  12028  xrminrpcl  12065  2clim  12092  cn1lem  12105  climsqz  12126  climsqz2  12127  climcau  12138  efgt1  12489  ef01bndlem  12548  sinltxirr  12553  bdmet  15728  bdmopn  15730  dveflem  15952  reeff1o  15999  logleb  16105  logrpap0b  16106  cxple3  16156  rpcxpsqrt  16157  rpcxpsqrtth  16165  chtqrpcl  16279  bposlem7  16317  bposlem8  16318  bposlem9  16319  dceqnconst  17317  dcapnconst  17318