Theorem rpre 9617

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9611	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3232	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3179	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954  ℝ⁺crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-in 3127  df-ss 3134  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  rpxr  9618  rpcn  9619  rpssre  9621  rpge0  9623  rprege0  9625  rpap0  9627  rprene0  9628  rpreap0  9629  rpaddcl  9634  rpmulcl  9635  rpdivcl  9636  rpgecl  9639  ledivge1le  9683  addlelt  9725  iccdil  9955  expnlbnd  10600  caucvgre  10945  rennim  10966  rpsqrtcl  11005  qdenre  11166  rpmaxcl  11187  rpmincl  11201  xrminrpcl  11237  2clim  11264  cn1lem  11277  climsqz  11298  climsqz2  11299  climcau  11310  efgt1  11660  ef01bndlem  11719  bdmet  13296  bdmopn  13298  dveflem  13481  reeff1o  13488  logleb  13590  logrpap0b  13591  cxple3  13635  rpcxpsqrt  13636  rpcxpsqrtth  13644  dceqnconst  14091  dcapnconst  14092