Theorem rpre 9660

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9654	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3241	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3188	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3152	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4004  ℝcr 7810  0cc0 7811   < clt 7992  ℝ⁺crp 9653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rab 2464  df-in 3136  df-ss 3143  df-rp 9654

This theorem is referenced by:  rpxr  9661  rpcn  9662  rpssre  9664  rpge0  9666  rprege0  9668  rpap0  9670  rprene0  9671  rpreap0  9672  rpaddcl  9677  rpmulcl  9678  rpdivcl  9679  rpgecl  9682  ledivge1le  9726  addlelt  9768  iccdil  9998  expnlbnd  10645  caucvgre  10990  rennim  11011  rpsqrtcl  11050  qdenre  11211  rpmaxcl  11232  rpmincl  11246  xrminrpcl  11282  2clim  11309  cn1lem  11322  climsqz  11343  climsqz2  11344  climcau  11355  efgt1  11705  ef01bndlem  11764  bdmet  14005  bdmopn  14007  dveflem  14190  reeff1o  14197  logleb  14299  logrpap0b  14300  cxple3  14344  rpcxpsqrt  14345  rpcxpsqrtth  14353  dceqnconst  14810  dcapnconst  14811