Theorem rpre 9726

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 9720	. . 3 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
2		ssrab2 3264	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3211	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	3	sseli 3175	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  ℝcr 7871  0cc0 7872   < clt 8054  ℝ⁺crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-in 3159  df-ss 3166  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  rpxr  9727  rpcn  9728  rpssre  9730  rpge0  9732  rprege0  9734  rpap0  9736  rprene0  9737  rpreap0  9738  rpaddcl  9743  rpmulcl  9744  rpdivcl  9745  rpgecl  9748  ledivge1le  9792  addlelt  9834  iccdil  10064  expnlbnd  10735  caucvgre  11125  rennim  11146  rpsqrtcl  11185  qdenre  11346  rpmaxcl  11367  rpmincl  11381  xrminrpcl  11417  2clim  11444  cn1lem  11457  climsqz  11478  climsqz2  11479  climcau  11490  efgt1  11840  ef01bndlem  11899  sinltxirr  11904  bdmet  14670  bdmopn  14672  dveflem  14872  reeff1o  14908  logleb  15010  logrpap0b  15011  cxple3  15055  rpcxpsqrt  15056  rpcxpsqrtth  15064  dceqnconst  15550  dcapnconst  15551