ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnp3 GIF version

Theorem metcnp3 14496
Description: Two ways to express that 𝐹 is continuous at 𝑃 for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnp3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐽,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝑃,𝑧

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
21mopntopon 14428 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
323ad2ant1 1020 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 metcn.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
54mopnval 14427 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
653ad2ant2 1021 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
74mopntopon 14428 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
873ad2ant2 1021 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
9 simp3 1001 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
103, 6, 8, 9tgcnp 14194 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
11 simpll2 1039 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
12 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑋𝑌)
13 simpll3 1040 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑃𝑋)
1412, 13ffvelcdmd 5676 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
15 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
16 blcntr 14401 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑌𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))
18 rpxr 9697 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20 blelrn 14405 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑌𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ∈ ran (ball‘𝐷))
2111, 14, 19, 20syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ∈ ran (ball‘𝐷))
22 eleq2 2253 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
23 sseq2 3194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
2423anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
2524rexbidv 2491 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
2622, 25imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))))
2726rspcv 2852 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ∈ ran (ball‘𝐷) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))))
2821, 27syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝐹𝑃) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))))
2917, 28mpid 42 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
30 simpl1 1002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) ∧ 𝑃𝑣) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
32 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) ∧ 𝑃𝑣) → 𝑣𝐽)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) ∧ 𝑃𝑣) → 𝑃𝑣)
341mopni2 14468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝐽𝑃𝑣) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑣)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) ∧ 𝑃𝑣) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑣)
36 sstr2 3177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
37 imass2 5025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑣 → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ (𝐹𝑣))
3836, 37syl11 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ((𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑣 → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
3938reximdv 2591 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
4035, 39syl5com 29 . . . . . . . . 9 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) ∧ 𝑃𝑣) → ((𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
4140expimpd 363 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑣𝐽)) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
4241expr 375 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑣𝐽 → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
4342rexlimdv 2606 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
4429, 43syld 45 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
4544ralrimdva 2570 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
46 simpl2 1003 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
47 blss 14413 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢)
48473expib 1208 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢))
4946, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢))
50 r19.29r 2628 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
5130ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → 𝑃𝑋)
53 rpxr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
5453ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
551blopn 14475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ∈ 𝐽)
5651, 52, 54, 55syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ∈ 𝐽)
57 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
58 blcntr 14401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧))
5951, 52, 57, 58syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧))
60 sstr 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢)
6160ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ∧ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢)
6261ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢)
63 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝑃𝑣𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)))
64 imaeq2 4987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹𝑣) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)))
6564sseq1d 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → ((𝐹𝑣) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢))
6663, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢)))
6766rspcev 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))
6856, 59, 62, 67syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))
6968expr 375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
7069rexlimdva 2607 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
7170expimpd 363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
7271rexlimdva 2607 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
7350, 72syl5 32 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))
7473expd 258 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑢 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))))
7549, 74syld 45 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → ((𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))))
7675com23 78 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ((𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))))
7776exp4a 366 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → (𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)))))
7877ralrimdv 2569 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))))
7945, 78impbid 129 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
8079pm5.32da 452 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝐷)((𝐹𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐹𝑣) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
8110, 80bitrd 188 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3144  ran crn 4648  cima 4650  wf 5234  cfv 5238  (class class class)co 5900  *cxr 8026  +crp 9689  topGenctg 12770  ∞Metcxmet 13874  ballcbl 13876  MetOpencmopn 13879  TopOnctopon 13995   CnP ccnp 14171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-map 6680  df-sup 7017  df-inf 7018  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-xneg 9808  df-xadd 9809  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-topgen 12776  df-psmet 13881  df-xmet 13882  df-bl 13884  df-mopn 13885  df-top 13983  df-topon 13996  df-bases 14028  df-cnp 14174
This theorem is referenced by:  metcnp  14497
  Copyright terms: Public domain W3C validator