ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnp3 GIF version

Theorem metcnp3 14307
Description: Two ways to express that 𝐹 is continuous at 𝑃 for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnp3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐽,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,π‘Œ,𝑧   𝑦,𝐢,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝑃,𝑧

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
21mopntopon 14239 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
323ad2ant1 1019 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 metcn.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopnval 14238 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
653ad2ant2 1020 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
74mopntopon 14239 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
873ad2ant2 1020 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 simp3 1000 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
103, 6, 8, 9tgcnp 14005 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
11 simpll2 1038 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
12 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
13 simpll3 1039 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1412, 13ffvelcdmd 5665 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
15 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
16 blcntr 14212 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1248 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
18 rpxr 9675 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
20 blelrn 14216 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
2111, 14, 19, 20syl3anc 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
22 eleq2 2251 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
23 sseq2 3191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
2423anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2524rexbidv 2488 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2622, 25imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2726rspcv 2849 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2821, 27syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2917, 28mpid 42 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
30 simpl1 1001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑃 ∈ 𝑣)
341mopni2 14279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
36 sstr2 3174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
37 imass2 5016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣))
3836, 37syl11 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
3938reximdv 2588 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4035, 39syl5com 29 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4140expimpd 363 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4241expr 375 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
4342rexlimdv 2603 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4429, 43syld 45 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4544ralrimdva 2567 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
46 simpl2 1002 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
47 blss 14224 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)
48473expib 1207 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
4946, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
50 r19.29r 2625 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
5130ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
53 rpxr 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
5453ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
551blopn 14286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
5651, 52, 54, 55syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
57 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
58 blcntr 14212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
5951, 52, 57, 58syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
60 sstr 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6160ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) ∧ ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6261ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
63 eleq2 2251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
64 imaeq2 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
6564sseq1d 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒))
6663, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)))
6766rspcev 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6856, 59, 62, 67syl12anc 1246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6968expr 375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7069rexlimdva 2604 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7170expimpd 363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7271rexlimdva 2604 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7350, 72syl5 32 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7473expd 258 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7549, 74syld 45 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7675com23 78 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7776exp4a 366 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
7877ralrimdv 2566 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7945, 78impbid 129 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
8079pm5.32da 452 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
8110, 80bitrd 188 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466   βŠ† wss 3141  ran crn 4639   β€œ cima 4641  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„*cxr 8005  β„+crp 9667  topGenctg 12721  βˆžMetcxmet 13722  ballcbl 13724  MetOpencmopn 13727  TopOnctopon 13806   CnP ccnp 13982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-cnp 13985
This theorem is referenced by:  metcnp  14308
  Copyright terms: Public domain W3C validator