ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnp3 GIF version

Theorem metcnp3 13981
Description: Two ways to express that 𝐹 is continuous at 𝑃 for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnp3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐽,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,π‘Œ,𝑧   𝑦,𝐢,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝑃,𝑧

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
21mopntopon 13913 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
323ad2ant1 1018 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 metcn.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopnval 13912 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
653ad2ant2 1019 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
74mopntopon 13913 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
873ad2ant2 1019 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9 simp3 999 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
103, 6, 8, 9tgcnp 13679 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
11 simpll2 1037 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
12 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
13 simpll3 1038 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1412, 13ffvelcdmd 5652 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
15 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
16 blcntr 13886 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))
18 rpxr 9660 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
20 blelrn 13890 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
2111, 14, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·))
22 eleq2 2241 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
23 sseq2 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
2423anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2524rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
2622, 25imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2726rspcv 2837 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2821, 27syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))))
2917, 28mpid 42 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
30 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
32 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
33 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ 𝑃 ∈ 𝑣)
341mopni2 13953 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣)
36 sstr2 3162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
37 imass2 5004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† (𝐹 β€œ 𝑣))
3836, 37syl11 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
3938reximdv 2578 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) βŠ† 𝑣 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4035, 39syl5com 29 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑣) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4140expimpd 363 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4241expr 375 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
4342rexlimdv 2593 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4429, 43syld 45 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
4544ralrimdva 2557 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
46 simpl2 1001 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
47 blss 13898 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)
48473expib 1206 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
4946, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒))
50 r19.29r 2615 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
5130ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5213ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
53 rpxr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
5453ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
551blopn 13960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
5651, 52, 54, 55syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽)
57 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
58 blcntr 13886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
5951, 52, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧))
60 sstr 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6160ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) ∧ ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
6261ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)
63 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
64 imaeq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ (𝐹 β€œ 𝑣) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)))
6564sseq1d 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒))
6663, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)))
6766rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧) ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6856, 59, 62, 67syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
6968expr 375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7069rexlimdva 2594 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7170expimpd 363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7271rexlimdva 2594 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7350, 72syl5 32 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
7473expd 258 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7549, 74syld 45 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7675com23 78 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ ((𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7776exp4a 366 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ (𝑒 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
7877ralrimdv 2556 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
7945, 78impbid 129 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦)))
8079pm5.32da 452 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ran (ballβ€˜π·)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
8110, 80bitrd 188 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑧)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3129  ran crn 4627   β€œ cima 4629  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„*cxr 7990  β„+crp 9652  topGenctg 12702  βˆžMetcxmet 13410  ballcbl 13412  MetOpencmopn 13415  TopOnctopon 13480   CnP ccnp 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-cnp 13659
This theorem is referenced by:  metcnp  13982
  Copyright terms: Public domain W3C validator