Theorem xrminrpcl 11828

Description: The minimum of two positive reals is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem xrminrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rpxr 9889	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrminmax 11819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5		rpre 9888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
7		renegcl 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
10		rpre 9888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rexneg 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
12		renegcl 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
15		xrmaxrecl 11809	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
16	9, 14, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
17		maxcl 11764	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	9, 14, 17	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
20		rexneg 10058	. . . . 5 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19	renegcld 8552	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
24	4, 23	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
25		rpgt0 9893	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
26		rpgt0 9893	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐵)
27	25, 26	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
28		0xr 8219	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		xrltmininf 11824	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
30	28, 1, 2, 29	mp3an3an 1377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
31	27, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
32	24, 31	elrpd 9921	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668   class class class wbr 4086  supcsup 7175  infcinf 7176  ℝcr 8024  0cc0 8025  ℝ^*cxr 8206   < clt 8207  -cneg 8344  ℝ⁺crp 9881  -_𝑒cxne 9997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553

This theorem is referenced by:  blin2  15149  xmettx  15227