Theorem xrminrpcl 11984

Description: The minimum of two positive reals is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem xrminrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 10012	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rpxr 10012	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrminmax 11975	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5		rpre 10011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 10182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
7		renegcl 8550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
10		rpre 10011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rexneg 10182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
12		renegcl 8550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
15		xrmaxrecl 11965	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
16	9, 14, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
17		maxcl 11920	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	9, 14, 17	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2311	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
20		rexneg 10182	. . . . 5 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19	renegcld 8670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
24	4, 23	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
25		rpgt0 10016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
26		rpgt0 10016	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐵)
27	25, 26	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
28		0xr 8336	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		xrltmininf 11980	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
30	28, 1, 2, 29	mp3an3an 1380	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
31	27, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
32	24, 31	elrpd 10044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3695   class class class wbr 4114  supcsup 7286  infcinf 7287  ℝcr 8142  0cc0 8143  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324  -cneg 8461  ℝ⁺crp 10004  -_𝑒cxne 10121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  blin2  15409  xmettx  15487