Theorem xrminrpcl 11237

Description: The minimum of two positive reals is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem xrminrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9618	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rpxr 9618	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrminmax 11228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5		rpre 9617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
7		renegcl 8180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
10		rpre 9617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rexneg 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
12		renegcl 8180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
15		xrmaxrecl 11218	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
16	9, 14, 15	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
17		maxcl 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	9, 14, 17	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
20		rexneg 9787	. . . . 5 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19	renegcld 8299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrd 2247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
24	4, 23	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
25		rpgt0 9622	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
26		rpgt0 9622	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐵)
27	25, 26	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
28		0xr 7966	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		xrltmininf 11233	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
30	28, 1, 2, 29	mp3an3an 1338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
31	27, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
32	24, 31	elrpd 9650	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cpr 3584   class class class wbr 3989  supcsup 6959  infcinf 6960  ℝcr 7773  0cc0 7774  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954  -cneg 8091  ℝ⁺crp 9610  -_𝑒cxne 9726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  blin2  13226  xmettx  13304