ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminrpcl GIF version

Theorem xrminrpcl 11277
Description: The minimum of two positive reals is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminrpcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem xrminrpcl
StepHypRef Expression
1 rpxr 9659 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
2 rpxr 9659 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrminmax 11268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5 rpre 9658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 9828 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
7 renegcl 8216 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
86, 7eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
95, 8syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
10 rpre 9658 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
11 rexneg 9828 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
12 renegcl 8216 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
1311, 12eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
1410, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
15 xrmaxrecl 11258 . . . . . . 7 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
169, 14, 15syl2an 289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
17 maxcl 11214 . . . . . . 7 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
189, 14, 17syl2an 289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
20 rexneg 9828 . . . . 5 (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
2119, 20syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
2219renegcld 8335 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrd 2254 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
244, 23eqeltrd 2254 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
25 rpgt0 9663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
26 rpgt0 9663 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐵)
2725, 26anim12i 338 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
28 0xr 8002 . . . 4 0 ∈ ℝ*
29 xrltmininf 11273 . . . 4 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
3028, 1, 2, 29mp3an3an 1343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
3127, 30mpbird 167 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
3224, 31elrpd 9691 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4003  supcsup 6980  infcinf 6981  cr 7809  0cc0 7810  *cxr 7989   < clt 7990  -cneg 8127  +crp 9651  -𝑒cxne 9767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003
This theorem is referenced by:  blin2  13863  xmettx  13941
  Copyright terms: Public domain W3C validator