Theorem xrminrpcl 11043

Description: The minimum of two positive reals is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem xrminrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9449	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rpxr 9449	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrminmax 11034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5		rpre 9448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
7		renegcl 8023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
10		rpre 9448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
11		rexneg 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
12		renegcl 8023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
13	11, 12	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
15		xrmaxrecl 11024	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
16	9, 14, 15	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ))
17		maxcl 10982	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	9, 14, 17	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	16, 18	eqeltrd 2216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
20		rexneg 9613	. . . . 5 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19	renegcld 8142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
23	21, 22	eqeltrd 2216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
24	4, 23	eqeltrd 2216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
25		rpgt0 9453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
26		rpgt0 9453	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐵)
27	25, 26	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
28		0xr 7812	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		xrltmininf 11039	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
30	28, 1, 2, 29	mp3an3an 1321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
31	27, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
32	24, 31	elrpd 9481	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3528   class class class wbr 3929  supcsup 6869  infcinf 6870  ℝcr 7619  0cc0 7620  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800  -cneg 7934  ℝ⁺crp 9441  -_𝑒cxne 9556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  blin2  12601  xmettx  12679