ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmopn GIF version

Theorem bdmopn 13671
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
bdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 9648 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 491 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 xrmincl 11258 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 rpre 9647 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
76ad2antll 491 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8 0xr 7994 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
98a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ*)
10 rpgt0 9652 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
1110ad2antll 491 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
12 simpl3 1002 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
13 xrltmininf 11262 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
148, 2, 3, 13mp3an2i 1342 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
1511, 12, 14mpbir2and 944 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
169, 5, 15xrltled 9786 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
17 xrmin1inf 11259 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
182, 3, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
19 xrrege0 9812 . . . . . 6 (((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
205, 7, 16, 18, 19syl22anc 1239 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2120, 15elrpd 9680 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
22 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
23 xrmin2inf 11260 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
242, 3, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
2522, 5, 243jca 1177 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅))
26 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
2726bdbl 13670 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2825, 27syldan 282 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2928eqcomd 2183 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
30 breq1 4003 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑠𝑟 ↔ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟))
31 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
32 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
3331, 32eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))))
3430, 33anbi12d 473 . . . . 5 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))))
3534rspcev 2841 . . . 4 ((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+ ∧ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3621, 18, 29, 35syl12anc 1236 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3736ralrimivva 2559 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
38 simp1 997 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3926bdxmet 13668 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
40 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
41 eqid 2177 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4240, 41metequiv2 13663 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4338, 39, 42syl2anc 411 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4437, 43mpd 13 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {cpr 3592   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  infcinf 6976  cr 7801  0cc0 7802  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983  +crp 9640  ∞Metcxmet 13147  ballcbl 13149  MetOpencmopn 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-bases 13208
This theorem is referenced by:  mopnex  13672
  Copyright terms: Public domain W3C validator