ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmopn GIF version

Theorem bdmopn 12493
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
bdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 9350 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 480 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 968 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 xrmincl 10927 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 rpre 9349 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
76ad2antll 480 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8 0xr 7736 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
98a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ*)
10 rpgt0 9354 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
1110ad2antll 480 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
12 simpl3 969 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
13 xrltmininf 10931 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
148, 2, 3, 13mp3an2i 1303 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
1511, 12, 14mpbir2and 911 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
169, 5, 15xrltled 9478 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
17 xrmin1inf 10928 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
182, 3, 17syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
19 xrrege0 9501 . . . . . 6 (((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
205, 7, 16, 18, 19syl22anc 1200 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2120, 15elrpd 9380 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
22 simprl 503 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
23 xrmin2inf 10929 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
242, 3, 23syl2anc 406 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
2522, 5, 243jca 1144 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅))
26 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
2726bdbl 12492 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2825, 27syldan 278 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2928eqcomd 2120 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
30 breq1 3898 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑠𝑟 ↔ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟))
31 oveq2 5736 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
32 oveq2 5736 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
3331, 32eqeq12d 2129 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))))
3430, 33anbi12d 462 . . . . 5 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))))
3534rspcev 2760 . . . 4 ((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+ ∧ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3621, 18, 29, 35syl12anc 1197 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3736ralrimivva 2488 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
38 simp1 964 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3926bdxmet 12490 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
40 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
41 eqid 2115 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4240, 41metequiv2 12485 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4338, 39, 42syl2anc 406 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4437, 43mpd 13 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  {cpr 3494   class class class wbr 3895  cfv 5081  (class class class)co 5728  cmpo 5730  infcinf 6822  cr 7546  0cc0 7547  *cxr 7723   < clt 7724  cle 7725  +crp 9343  ∞Metcxmet 11992  ballcbl 11994  MetOpencmopn 11997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-icc 9571  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-bases 12053
This theorem is referenced by:  mopnex  12494
  Copyright terms: Public domain W3C validator