ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmopn GIF version

Theorem bdmopn 14387
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
bdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 9678 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 491 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1002 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 xrmincl 11291 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 rpre 9677 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
76ad2antll 491 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
8 0xr 8021 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
98a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ*)
10 rpgt0 9682 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
1110ad2antll 491 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
12 simpl3 1003 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
13 xrltmininf 11295 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
148, 2, 3, 13mp3an2i 1352 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ↔ (0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅)))
1511, 12, 14mpbir2and 945 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
169, 5, 15xrltled 9816 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))
17 xrmin1inf 11292 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
182, 3, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)
19 xrrege0 9842 . . . . . 6 (((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
205, 7, 16, 18, 19syl22anc 1249 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
2120, 15elrpd 9710 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+)
22 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
23 xrmin2inf 11293 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
242, 3, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)
2522, 5, 243jca 1178 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅))
26 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
2726bdbl 14386 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2825, 27syldan 282 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
2928eqcomd 2194 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
30 breq1 4020 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑠𝑟 ↔ inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟))
31 oveq2 5898 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
32 oveq2 5898 . . . . . . 7 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))
3331, 32eqeq12d 2203 . . . . . 6 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ))))
3430, 33anbi12d 473 . . . . 5 (𝑠 = inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))))
3534rspcev 2855 . . . 4 ((inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ∈ ℝ+ ∧ (inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < ) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )) = (𝑧(ball‘𝐷)inf({𝑟, 𝑅}, ℝ*, < )))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3621, 18, 29, 35syl12anc 1246 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3736ralrimivva 2571 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
38 simp1 998 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3926bdxmet 14384 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
40 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
41 eqid 2188 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4240, 41metequiv2 14379 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4338, 39, 42syl2anc 411 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4437, 43mpd 13 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2159  wral 2467  wrex 2468  {cpr 3607   class class class wbr 4017  cfv 5230  (class class class)co 5890  cmpo 5892  infcinf 6999  cr 7827  0cc0 7828  *cxr 8008   < clt 8009  cle 8010  +crp 9670  ∞Metcxmet 13809  ballcbl 13811  MetOpencmopn 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-isom 5239  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-map 6667  df-sup 7000  df-inf 7001  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-xneg 9789  df-xadd 9790  df-icc 9912  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-topgen 12730  df-psmet 13816  df-xmet 13817  df-bl 13819  df-mopn 13820  df-top 13881  df-bases 13926
This theorem is referenced by:  mopnex  14388
  Copyright terms: Public domain W3C validator