Theorem strslfvd 12178

Description: Deduction version of strslfv 12181. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslfvd.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfvd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
strfvd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strslfvd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfvd.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3		strfvd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4	1	simpri 112	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	strnfvnd 12157	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7		strfvd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
8		strfvd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
9		funopfv 5501	. . 3 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
10	7, 8, 9	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
11	6, 10	eqtr2d 2188	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ⟨cop 3559  Fun wfun 5157  ‘cfv 5163  ℕcn 8812  ndxcnx 12134  Slot cslot 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-slot 12141

This theorem is referenced by:  strslssd  12183  1strbas  12236  2strbasg  12238  2stropg  12239