Theorem strslfv3 13151

Description: Variant on strslfv 13150 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n	⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strslfv3.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
4		strslfv3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structex 13117	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2307	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
8		structfung 13122	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
10	3	cnveqd 4908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 = ◡𝑆)
11	10	cnveqd 4908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝑈 = ◡◡𝑆)
12	11	funeqd 5350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡𝑈 ↔ Fun ◡◡𝑆))
13	9, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑈)
14		strslfv3.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
15	2	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16		strfv3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		opexg 4322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19		snssg 3808	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
21	14, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
22	21, 3	eleqtrrd 2310	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
23	2, 7, 13, 22, 16	strslfv2d 13148	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
24	1, 23	eqtr4id 2282	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ⊆ wss 3199  {csn 3670  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  ^◡ccnv 4726  Fun wfun 5322  ‘cfv 5328  ℕcn 9148   Struct cstr 13101  ndxcnx 13102  Slot cslot 13104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-struct 13107  df-slot 13109

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13380