Theorem strslfv3 12474

Description: Variant on strslfv 12473 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strfv3.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv3.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strfv3.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		strfv3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
4		strslfv3.e	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
5		strfv3.n	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
6	3, 4, 5	strslfv 12473	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
7	2, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
8		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
9	8	fveq2d 5511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑆))
10	7, 9	eqtr4d 2211	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
11	1, 10	eqtr4id 2227	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3127  {csn 3589  ⟨cop 3592   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  ℕcn 8892   Struct cstr 12425  ndxcnx 12426  Slot cslot 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-struct 12431  df-slot 12433

This theorem is referenced by: (None)