Theorem strslfv3 11786

Description: Variant on strslfv 11785 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strfv3.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv3.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		strfv3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
3		strslfv3.e	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		strfv3.n	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
5	2, 3, 4	strslfv 11785	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
7		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
8	7	fveq2d 5357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑆))
9	6, 8	eqtr4d 2135	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
10		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
11	9, 10	syl6reqr 2151	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ⊆ wss 3021  {csn 3474  ⟨cop 3477   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  ℕcn 8578   Struct cstr 11737  ndxcnx 11738  Slot cslot 11740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-struct 11743  df-slot 11745

This theorem is referenced by: (None)