Theorem strslfv3 13381

Description: Variant on strslfv 13380 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n	⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strslfv3.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
4		strslfv3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structex 13347	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
8		structfung 13352	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
10	3	cnveqd 4954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 = ◡𝑆)
11	10	cnveqd 4954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝑈 = ◡◡𝑆)
12	11	funeqd 5397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡𝑈 ↔ Fun ◡◡𝑆))
13	9, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑈)
14		strslfv3.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
15	2	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16		strfv3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		opexg 4366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19		snssg 3847	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
21	14, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
22	21, 3	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
23	2, 7, 13, 22, 16	strslfv2d 13378	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
24	1, 23	eqtr4id 2290	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {csn 3708  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  ^◡ccnv 4771  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  ℕcn 9287   Struct cstr 13331  ndxcnx 13332  Slot cslot 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-struct 13337  df-slot 13339

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  14157