ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslfv3 GIF version

Theorem strslfv3 12948
Description: Variant on strslfv 12947 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv3.u (𝜑𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c (𝜑𝐶𝑉)
strfv3.a 𝐴 = (𝐸𝑈)
Assertion
Ref Expression
strslfv3 (𝜑𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3
StepHypRef Expression
1 strfv3.a . 2 𝐴 = (𝐸𝑈)
2 strslfv3.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3 strfv3.u . . . 4 (𝜑𝑈 = 𝑆)
4 strslfv3.s . . . . 5 (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
5 structex 12914 . . . . 5 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
73, 6eqeltrd 2283 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
8 structfung 12919 . . . . 5 (𝑆 Struct 𝑋 → Fun 𝑆)
94, 8syl 14 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑆)
103cnveqd 4861 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = 𝑆)
1110cnveqd 4861 . . . . 5 (𝜑𝑈 = 𝑆)
1211funeqd 5301 . . . 4 (𝜑 → (Fun 𝑈 ↔ Fun 𝑆))
139, 12mpbird 167 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑈)
14 strslfv3.n . . . . 5 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
152simpri 113 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16 strfv3.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑉)
17 opexg 4279 . . . . . . 7 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
1815, 16, 17sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19 snssg 3772 . . . . . 6 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
2018, 19syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
2114, 20mpbird 167 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
2221, 3eleqtrrd 2286 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
232, 7, 13, 22, 16strslfv2d 12945 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑈))
241, 23eqtr4id 2258 1 (𝜑𝐴 = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1373  wcel 2177  Vcvv 2773  wss 3170  {csn 3637  cop 3640   class class class wbr 4050  ccnv 4681  Fun wfun 5273  cfv 5279  cn 9051   Struct cstr 12898  ndxcnx 12899  Slot cslot 12901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-struct 12904  df-slot 12906
This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13176
  Copyright terms: Public domain W3C validator