Theorem strslfv3 13247

Description: Variant on strslfv 13246 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n	⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strslfv3.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
4		strslfv3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structex 13213	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
8		structfung 13218	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
10	3	cnveqd 4930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 = ◡𝑆)
11	10	cnveqd 4930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝑈 = ◡◡𝑆)
12	11	funeqd 5373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡𝑈 ↔ Fun ◡◡𝑆))
13	9, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑈)
14		strslfv3.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
15	2	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16		strfv3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		opexg 4343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19		snssg 3827	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
21	14, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
22	21, 3	eleqtrrd 2312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
23	2, 7, 13, 22, 16	strslfv2d 13244	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
24	1, 23	eqtr4id 2284	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210  {csn 3688  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ^◡ccnv 4747  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  ℕcn 9233   Struct cstr 13197  ndxcnx 13198  Slot cslot 13200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-struct 13203  df-slot 13205

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13476