Theorem strslfv3 13121

Description: Variant on strslfv 13120 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n	⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strslfv3.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
4		strslfv3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structex 13087	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
8		structfung 13092	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
10	3	cnveqd 4904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 = ◡𝑆)
11	10	cnveqd 4904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝑈 = ◡◡𝑆)
12	11	funeqd 5346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡𝑈 ↔ Fun ◡◡𝑆))
13	9, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑈)
14		strslfv3.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
15	2	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16		strfv3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		opexg 4318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19		snssg 3805	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
21	14, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
22	21, 3	eleqtrrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
23	2, 7, 13, 22, 16	strslfv2d 13118	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
24	1, 23	eqtr4id 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  {csn 3667  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  ℕcn 9136   Struct cstr 13071  ndxcnx 13072  Slot cslot 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-struct 13077  df-slot 13079

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13350