Theorem strslfv3 12948

Description: Variant on strslfv 12947 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strslfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strslfv3.n	⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strslfv3.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
4		strslfv3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structex 12914	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
8		structfung 12919	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
10	3	cnveqd 4861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑈 = ◡𝑆)
11	10	cnveqd 4861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝑈 = ◡◡𝑆)
12	11	funeqd 5301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡𝑈 ↔ Fun ◡◡𝑆))
13	9, 12	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑈)
14		strslfv3.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
15	2	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
16		strfv3.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
17		opexg 4279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
18	15, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
19		snssg 3772	. . . . . 6 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆))
21	14, 20	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
22	21, 3	eleqtrrd 2286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑈)
23	2, 7, 13, 22, 16	strslfv2d 12945	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
24	1, 23	eqtr4id 2258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  {csn 3637  ⟨cop 3640   class class class wbr 4050  ^◡ccnv 4681  Fun wfun 5273  ‘cfv 5279  ℕcn 9051   Struct cstr 12898  ndxcnx 12899  Slot cslot 12901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-struct 12904  df-slot 12906

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13176