Theorem strslfv3 12510

Description: Variant on strslfv 12509 for large structures. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
strfv3.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strslfv3.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv3.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
strfv3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
strfv3.a	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
strslfv3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem strslfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv3.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
2		strfv3.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		strfv3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
4		strslfv3.e	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
5		strfv3.n	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
6	3, 4, 5	strslfv 12509	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
7	2, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
8		strfv3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 𝑆)
9	8	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑆))
10	7, 9	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑈))
11	1, 10	eqtr4id 2229	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  {csn 3594  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  ℕcn 8921   Struct cstr 12460  ndxcnx 12461  Slot cslot 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-struct 12466  df-slot 12468

This theorem is referenced by: (None)