Theorem opelstrsl 13147

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opelstrsl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrsl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrsl.el	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrsl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structex 13044	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		structfung 13049	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
7		opelstrsl.el	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
8		opelstrsl.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 13075	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ^◡ccnv 4718  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  ℕcn 9110   Struct cstr 13028  ndxcnx 13029  Slot cslot 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-struct 13034  df-slot 13036

This theorem is referenced by:  opelstrbas  13148  2strop1g  13157  rngplusgg  13170  rngmulrg  13171  srngplusgd  13181  srngmulrd  13182  srnginvld  13183  lmodplusgd  13199  lmodscad  13200  lmodvscad  13201  ipsaddgd  13211  ipsmulrd  13212  ipsscad  13213  ipsvscad  13214  ipsipd  13215  topgrpplusgd  13231  topgrptsetd  13232  psrplusgg  14642  edgfiedgval2dom  15836