Theorem opelstrsl 13199

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opelstrsl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrsl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrsl.el	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrsl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structex 13096	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		structfung 13101	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
7		opelstrsl.el	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
8		opelstrsl.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 13127	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ^◡ccnv 4724  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  ℕcn 9143   Struct cstr 13080  ndxcnx 13081  Slot cslot 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-struct 13086  df-slot 13088

This theorem is referenced by:  opelstrbas  13200  2strop1g  13209  rngplusgg  13222  rngmulrg  13223  srngplusgd  13233  srngmulrd  13234  srnginvld  13235  lmodplusgd  13251  lmodscad  13252  lmodvscad  13253  ipsaddgd  13263  ipsmulrd  13264  ipsscad  13265  ipsvscad  13266  ipsipd  13267  topgrpplusgd  13283  topgrptsetd  13284  psrplusgg  14695  edgfiedgval2dom  15889