Theorem opelstrsl 13316

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opelstrsl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrsl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrsl.el	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrsl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structex 13213	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		structfung 13218	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
7		opelstrsl.el	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
8		opelstrsl.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 13244	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  ^◡ccnv 4747  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  ℕcn 9233   Struct cstr 13197  ndxcnx 13198  Slot cslot 13200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-struct 13203  df-slot 13205

This theorem is referenced by:  opelstrbas  13317  2strop1g  13326  rngplusgg  13339  rngmulrg  13340  srngplusgd  13350  srngmulrd  13351  srnginvld  13352  lmodplusgd  13368  lmodscad  13369  lmodvscad  13370  ipsaddgd  13380  ipsmulrd  13381  ipsscad  13382  ipsvscad  13383  ipsipd  13384  topgrpplusgd  13400  topgrptsetd  13401  psrplusgg  14820  edgfiedgval2dom  16017