Theorem opelstrsl 13190

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opelstrsl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrsl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrsl.el	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrsl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structex 13087	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		structfung 13092	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
7		opelstrsl.el	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
8		opelstrsl.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 13118	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  ^◡ccnv 4722  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  ℕcn 9136   Struct cstr 13071  ndxcnx 13072  Slot cslot 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-struct 13077  df-slot 13079

This theorem is referenced by:  opelstrbas  13191  2strop1g  13200  rngplusgg  13213  rngmulrg  13214  srngplusgd  13224  srngmulrd  13225  srnginvld  13226  lmodplusgd  13242  lmodscad  13243  lmodvscad  13244  ipsaddgd  13254  ipsmulrd  13255  ipsscad  13256  ipsvscad  13257  ipsipd  13258  topgrpplusgd  13274  topgrptsetd  13275  psrplusgg  14685  edgfiedgval2dom  15879