Theorem opelstrsl 12575

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
opelstrsl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrsl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrsl.el	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrsl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structex 12476	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
5		structfung 12481	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝑆)
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
7		opelstrsl.el	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
8		opelstrsl.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12507	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ^◡ccnv 4627  Fun wfun 5212  ‘cfv 5218  ℕcn 8921   Struct cstr 12460  ndxcnx 12461  Slot cslot 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-struct 12466  df-slot 12468

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12576  2strop1g  12584  rngplusgg  12597  rngmulrg  12598  srngplusgd  12608  srngmulrd  12609  srnginvld  12610  lmodplusgd  12626  lmodscad  12627  lmodvscad  12628  ipsaddgd  12638  ipsmulrd  12639  ipsscad  12640  ipsvscad  12641  ipsipd  12642  topgrpplusgd  12658  topgrptsetd  12659