ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv GIF version

Theorem structcnvcnv 12491
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4666 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 cnvcnv 5093 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3 inss2 3368 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
42, 3eqsstri 3199 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (V × V)
54sseli 3163 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
61, 5mto 663 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ 𝐹
7 disjsn 3666 . . . . 5 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7mpbir 146 . . . 4 (𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9 cnvcnvss 5095 . . . . 5 𝐹𝐹
10 reldisj 3486 . . . . 5 (𝐹𝐹 → ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
128, 11mpbi 145 . . 3 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
1312a1i 9 . 2 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14 structn0fun 12488 . . . . 5 (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15 funrel 5245 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17 dfrel2 5091 . . . 4 (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
1816, 17sylib 122 . . 3 (𝐹 Struct 𝑋(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19 difss 3273 . . . 4 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20 cnvss 4812 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
21 cnvss 4812 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2219, 20, 21mp2b 8 . . 3 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
2318, 22eqsstrrdi 3220 . 2 (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2413, 23eqssd 3184 1 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749  cdif 3138  cin 3140  wss 3141  c0 3434  {csn 3604   class class class wbr 4015   × cxp 4636  ccnv 4637  Rel wrel 4643  Fun wfun 5222   Struct cstr 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-struct 12477
This theorem is referenced by:  structfung  12492
  Copyright terms: Public domain W3C validator