Theorem structcnvcnv 13121

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4755	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		cnvcnv 5191	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3		inss2 3427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
4	2, 3	eqsstri 3258	. . . . . . 7 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (V × V)
5	4	sseli 3222	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ◡◡𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
6	1, 5	mto 668	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹
7		disjsn 3732	. . . . 5 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹)
8	6, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9		cnvcnvss 5193	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ 𝐹
10		reldisj 3545	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐹 ⊆ 𝐹 → ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
12	8, 11	mpbi 145	. . 3 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14		structn0fun 13118	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15		funrel 5345	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17		dfrel2 5189	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
18	16, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19		difss 3332	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20		cnvss 4905	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹)
21		cnvss 4905	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 ⊢ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹
23	18, 22	eqsstrrdi 3279	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
24	13, 23	eqssd 3243	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∖ cdif 3196   ∩ cin 3198   ⊆ wss 3199  ∅c0 3493  {csn 3670   class class class wbr 4089   × cxp 4725  ^◡ccnv 4726  Rel wrel 4732  Fun wfun 5322   Struct cstr 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-struct 13107

This theorem is referenced by:  structfung  13122