Theorem structcnvcnv 13217

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4776	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		cnvcnv 5214	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3		inss2 3441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
4	2, 3	eqsstri 3269	. . . . . . 7 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (V × V)
5	4	sseli 3233	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ◡◡𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
6	1, 5	mto 668	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹
7		disjsn 3750	. . . . 5 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹)
8	6, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9		cnvcnvss 5216	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ 𝐹
10		reldisj 3559	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐹 ⊆ 𝐹 → ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
12	8, 11	mpbi 145	. . 3 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14		structn0fun 13214	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15		funrel 5368	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17		dfrel2 5212	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
18	16, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19		difss 3344	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20		cnvss 4927	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹)
21		cnvss 4927	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 ⊢ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹
23	18, 22	eqsstrrdi 3290	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
24	13, 23	eqssd 3254	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∖ cdif 3207   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ^◡ccnv 4747  Rel wrel 4753  Fun wfun 5345   Struct cstr 13197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-struct 13203

This theorem is referenced by:  structfung  13218