Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv GIF version

Theorem structcnvcnv 12050
 Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4579 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 cnvcnv 5003 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3 inss2 3304 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
42, 3eqsstri 3136 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (V × V)
54sseli 3100 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
61, 5mto 652 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ 𝐹
7 disjsn 3595 . . . . 5 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7mpbir 145 . . . 4 (𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9 cnvcnvss 5005 . . . . 5 𝐹𝐹
10 reldisj 3421 . . . . 5 (𝐹𝐹 → ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
128, 11mpbi 144 . . 3 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
1312a1i 9 . 2 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14 structn0fun 12047 . . . . 5 (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15 funrel 5152 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17 dfrel2 5001 . . . 4 (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
1816, 17sylib 121 . . 3 (𝐹 Struct 𝑋(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19 difss 3209 . . . 4 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20 cnvss 4724 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
21 cnvss 4724 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2219, 20, 21mp2b 8 . . 3 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
2318, 22eqsstrrdi 3157 . 2 (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2413, 23eqssd 3121 1 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2691   ∖ cdif 3075   ∩ cin 3077   ⊆ wss 3078  ∅c0 3370  {csn 3534   class class class wbr 3939   × cxp 4549  ◡ccnv 4550  Rel wrel 4556  Fun wfun 5129   Struct cstr 12030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-ral 2423  df-rex 2424  df-rab 2427  df-v 2693  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-br 3940  df-opab 4000  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fv 5143  df-struct 12036 This theorem is referenced by:  structfung  12051
 Copyright terms: Public domain W3C validator