ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv GIF version

Theorem structcnvcnv 12448
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4650 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 cnvcnv 5076 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3 inss2 3356 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
42, 3eqsstri 3187 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (V × V)
54sseli 3151 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
61, 5mto 662 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ 𝐹
7 disjsn 3653 . . . . 5 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7mpbir 146 . . . 4 (𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9 cnvcnvss 5078 . . . . 5 𝐹𝐹
10 reldisj 3474 . . . . 5 (𝐹𝐹 → ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
128, 11mpbi 145 . . 3 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
1312a1i 9 . 2 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14 structn0fun 12445 . . . . 5 (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15 funrel 5228 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17 dfrel2 5074 . . . 4 (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
1816, 17sylib 122 . . 3 (𝐹 Struct 𝑋(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19 difss 3261 . . . 4 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20 cnvss 4795 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
21 cnvss 4795 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2219, 20, 21mp2b 8 . . 3 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
2318, 22eqsstrrdi 3208 . 2 (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2413, 23eqssd 3172 1 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cdif 3126  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4620  ccnv 4621  Rel wrel 4627  Fun wfun 5205   Struct cstr 12428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-struct 12434
This theorem is referenced by:  structfung  12449
  Copyright terms: Public domain W3C validator