Theorem structcnvcnv 12637

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4688	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		cnvcnv 5119	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3		inss2 3381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
4	2, 3	eqsstri 3212	. . . . . . 7 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (V × V)
5	4	sseli 3176	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ◡◡𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
6	1, 5	mto 663	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹
7		disjsn 3681	. . . . 5 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹)
8	6, 7	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9		cnvcnvss 5121	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ 𝐹
10		reldisj 3499	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐹 ⊆ 𝐹 → ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
12	8, 11	mpbi 145	. . 3 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14		structn0fun 12634	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15		funrel 5272	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17		dfrel2 5117	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
18	16, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19		difss 3286	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20		cnvss 4836	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹)
21		cnvss 4836	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 ⊢ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹
23	18, 22	eqsstrrdi 3233	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
24	13, 23	eqssd 3197	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659  Rel wrel 4665  Fun wfun 5249   Struct cstr 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-struct 12623

This theorem is referenced by:  structfung  12638