Theorem xnegcld 10078

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xnegcld	⊢ (𝜑 → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xnegcl 10055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℝ^*cxr 8201  -_𝑒cxne 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-sub 8340  df-neg 8341  df-xneg 9995

This theorem is referenced by:  xlesubadd  10106  xrmaxaddlem  11808  xrnegiso  11810  infxrnegsupex  11811  xrnegcon1d  11812  xrminmax  11813  xrmincl  11814  xrmineqinf  11817  xrltmininf  11818  xrminadd  11823  xblss2ps  15115  xblss2  15116