Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetunirn GIF version

Theorem xmetunirn 12602
 Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6561 . . . . . . 7 𝑚 Fn (V × V)
2 xrex 9698 . . . . . . 7 * ∈ V
3 sqxpexg 4667 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 × 𝑥) ∈ V)
43elv 2695 . . . . . . 7 (𝑥 × 𝑥) ∈ V
5 fnovex 5816 . . . . . . 7 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ ℝ* ∈ V ∧ (𝑥 × 𝑥) ∈ V) → (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∈ V)
61, 2, 4, 5mp3an 1316 . . . . . 6 (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∈ V
76rabex 4082 . . . . 5 {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∣ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (((𝑦𝑑𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧) ∧ ∀𝑤𝑥 (𝑦𝑑𝑧) ≤ ((𝑤𝑑𝑦) +𝑒 (𝑤𝑑𝑧)))} ∈ V
8 df-xmet 12232 . . . . 5 ∞Met = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∣ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (((𝑦𝑑𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧) ∧ ∀𝑤𝑥 (𝑦𝑑𝑧) ≤ ((𝑤𝑑𝑦) +𝑒 (𝑤𝑑𝑧)))})
97, 8fnmpti 5263 . . . 4 ∞Met Fn V
10 fnunirn 5680 . . . 4 (∞Met Fn V → (𝐷 ran ∞Met ↔ ∃𝑥 ∈ V 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥)))
119, 10ax-mp 5 . . 3 (𝐷 ran ∞Met ↔ ∃𝑥 ∈ V 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥))
12 id 19 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥))
13 xmetdmdm 12600 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥) → 𝑥 = dom dom 𝐷)
1413fveq2d 5437 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥) → (∞Met‘𝑥) = (∞Met‘dom dom 𝐷))
1512, 14eleqtrd 2220 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
1615rexlimivw 2550 . . 3 (∃𝑥 ∈ V 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
1711, 16sylbi 120 . 2 (𝐷 ran ∞Met → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
18 elex 2702 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
19 dmexg 4815 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → dom 𝐷 ∈ V)
20 dmexg 4815 . . . . . 6 (dom 𝐷 ∈ V → dom dom 𝐷 ∈ V)
2118, 19, 203syl 17 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 ∈ V)
22 fvssunirng 5448 . . . . 5 (dom dom 𝐷 ∈ V → (∞Met‘dom dom 𝐷) ⊆ ran ∞Met)
2321, 22syl 14 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (∞Met‘dom dom 𝐷) ⊆ ran ∞Met)
2423sseld 3103 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → 𝐷 ran ∞Met))
2524pm2.43i 49 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → 𝐷 ran ∞Met)
2617, 25impbii 125 1 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  ∀wral 2418  ∃wrex 2419  {crab 2422  Vcvv 2691   ⊆ wss 3078  ∪ cuni 3746   class class class wbr 3939   × cxp 4549  dom cdm 4551  ran crn 4552   Fn wfn 5130  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786   ↑𝑚 cmap 6554  0cc0 7673  ℝ*cxr 7852   ≤ cle 7854   +𝑒 cxad 9616  ∞Metcxmet 12224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-ral 2423  df-rex 2424  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-fv 5143  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-map 6556  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-xmet 12232 This theorem is referenced by:  isxms2  12696
 Copyright terms: Public domain W3C validator