Theorem xaddnemnf 10259

Description: Closure of extended real addition in the subset ℝ^* / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddnemnf	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnemnf 10179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2		xrnemnf 10179	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3		rexadd 10254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4		readdcl 8305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	3, 4	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	renemnfd 8377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
7		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8		rexr 8371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9		renemnf 8374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10		xaddpnf1 10248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
12	7, 11	sylan9eqr 2293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
13		pnfnemnf 8380	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
14	13	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
15	12, 14	eqnetrd 2444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
16	6, 15	jaodan 809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
17	2, 16	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
18		oveq1 6092	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
19		xaddpnf2 10249	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
20	18, 19	sylan9eq 2291	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
21	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
22	20, 21	eqnetrd 2444	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
23	17, 22	jaoian 807	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
24	1, 23	sylanb 284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  (class class class)co 6085  ℝcr 8178   + caddc 8182  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359   +_𝑒 cxad 10172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-xadd 10175

This theorem is used by:  xaddass  10271  xlt2add  10282  xadd4d  10287  xleaddadd  10289