ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xaddnemnf GIF version

Theorem xaddnemnf 9855
Description: Closure of extended real addition in the subset * / {-∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddnemnf (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)

Proof of Theorem xaddnemnf
StepHypRef Expression
1 xrnemnf 9775 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
2 xrnemnf 9775 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
3 rexadd 9850 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4 readdcl 7936 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
65renemnfd 8007 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
7 oveq2 5882 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
8 rexr 8001 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 renemnf 8004 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
10 xaddpnf1 9844 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
127, 11sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
13 pnfnemnf 8010 . . . . . . 7 +∞ ≠ -∞
1413a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ -∞)
1512, 14eqnetrd 2371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
166, 15jaodan 797 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
172, 16sylan2b 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
18 oveq1 5881 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
19 xaddpnf2 9845 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
2018, 19sylan9eq 2230 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
2113a1i 9 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → +∞ ≠ -∞)
2220, 21eqnetrd 2371 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
2317, 22jaoian 795 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
241, 23sylanb 284 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  (class class class)co 5874  cr 7809   + caddc 7813  +∞cpnf 7987  -∞cmnf 7988  *cxr 7989   +𝑒 cxad 9768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-rnegex 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-xadd 9771
This theorem is referenced by:  xaddass  9867  xlt2add  9878  xadd4d  9883  xleaddadd  9885
  Copyright terms: Public domain W3C validator