Theorem pnfxr 8232

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3371	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8216	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8156	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4534	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4273	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3777	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3224	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8218	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2307	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  𝒫 cpw 3652  {cpr 3670  ∪ cuni 3893  ℂcc 8030  ℝcr 8031  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  pnfex  8233  pnfnemnf  8234  xnn0xr  9470  xrltnr  10014  ltpnf  10015  mnfltpnf  10020  pnfnlt  10022  pnfge  10024  xrlttri3  10032  xnn0dcle  10037  nltpnft  10049  xgepnf  10051  xrrebnd  10054  xrre  10055  xrre2  10056  xnegcl  10067  xaddf  10079  xaddval  10080  xaddpnf1  10081  xaddpnf2  10082  pnfaddmnf  10085  mnfaddpnf  10086  xrex  10091  xaddass2  10105  xltadd1  10111  xlt2add  10115  xsubge0  10116  xposdif  10117  xleaddadd  10122  elioc2  10171  elico2  10172  elicc2  10173  ioomax  10183  iccmax  10184  ioopos  10185  elioopnf  10202  elicopnf  10204  unirnioo  10208  elxrge0  10213  dfrp2  10524  elicore  10527  xqltnle  10528  hashinfom  11041  rexico  11786  xrmaxiflemcl  11810  xrmaxadd  11826  fprodge0  12203  fprodge1  12205  pcxcl  12889  pc2dvds  12908  pcadd  12918  xblpnfps  15128  xblpnf  15129  xblss2ps  15134  blssec  15168  blpnfctr  15169  reopnap  15276  blssioo  15283