Theorem pnfxr 8379

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8363	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8304	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4583	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4320	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3817	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3245	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8365	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ∪ cuni 3935  ℂcc 8178  ℝcr 8179  +∞cpnf 8358  -∞cmnf 8359  ℝ^*cxr 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8363  df-xr 8365

This theorem is used by:  pnfex  8380  pnfnemnf  8381  xnn0xr  9640  xrltnr  10192  ltpnf  10193  mnfltpnf  10198  pnfnlt  10200  pnfge  10202  xrlttri3  10210  xnn0dcle  10215  nltpnft  10227  xgepnf  10229  xrrebnd  10232  xrre  10233  xrre2  10234  xnegcl  10245  xaddf  10257  xaddval  10258  xaddpnf1  10259  xaddpnf2  10260  pnfaddmnf  10263  mnfaddpnf  10264  xrex  10269  xaddass2  10283  xltadd1  10289  xlt2add  10293  xsubge0  10294  xposdif  10295  xleaddadd  10300  elioc2  10349  elico2  10350  elicc2  10351  ioomax  10361  iccmax  10362  ioopos  10363  elioopnf  10380  elicopnf  10382  unirnioo  10386  elxrge0  10391  dfrp2  10709  elicore  10712  xqltnle  10713  hashinfom  11232  rexico  12003  xrmaxiflemcl  12029  xrmaxadd  12045  fprodge0  12422  fprodge1  12424  pcxcl  13112  pc2dvds  13131  pcadd  13141  xblpnfps  15551  xblpnf  15552  xblss2ps  15557  blssec  15591  blpnfctr  15592  reopnap  15699  blssioo  15706  repiecelem  17196  repiecele0  17197  repiecege0  17198