Theorem pnfxr 7951

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3286	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 7935	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 7877	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4415	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4162	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2239	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3682	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3139	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 7937	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2242	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  𝒫 cpw 3559  {cpr 3577  ∪ cuni 3789  ℂcc 7751  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930  -∞cmnf 7931  ℝ^*cxr 7932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-un 4411  ax-cnex 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-pnf 7935  df-xr 7937

This theorem is referenced by:  pnfex  7952  pnfnemnf  7953  xnn0xr  9182  xrltnr  9715  ltpnf  9716  mnfltpnf  9721  pnfnlt  9723  pnfge  9725  xrlttri3  9733  xnn0dcle  9738  nltpnft  9750  xgepnf  9752  xrrebnd  9755  xrre  9756  xrre2  9757  xnegcl  9768  xaddf  9780  xaddval  9781  xaddpnf1  9782  xaddpnf2  9783  pnfaddmnf  9786  mnfaddpnf  9787  xrex  9792  xaddass2  9806  xltadd1  9812  xlt2add  9816  xsubge0  9817  xposdif  9818  xleaddadd  9823  elioc2  9872  elico2  9873  elicc2  9874  ioomax  9884  iccmax  9885  ioopos  9886  elioopnf  9903  elicopnf  9905  unirnioo  9909  elxrge0  9914  dfrp2  10199  elicore  10202  hashinfom  10691  rexico  11163  xrmaxiflemcl  11186  xrmaxadd  11202  fprodge0  11578  fprodge1  11580  pcxcl  12243  pc2dvds  12261  pcadd  12271  xblpnfps  13038  xblpnf  13039  xblss2ps  13044  blssec  13078  blpnfctr  13079  reopnap  13178  blssioo  13185