ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr GIF version

Theorem pnfxr 7841
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3244 . . 3 {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2 df-pnf 7825 . . . . 5 +∞ = 𝒫
3 cnex 7767 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
43uniex 4366 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54pwex 4114 . . . . 5 𝒫 ℂ ∈ V
62, 5eqeltri 2213 . . . 4 +∞ ∈ V
76prid1 3636 . . 3 +∞ ∈ {+∞, -∞}
81, 7sselii 3098 . 2 +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9 df-xr 7827 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
108, 9eleqtrri 2216 1 +∞ ∈ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1481  Vcvv 2689  cun 3073  𝒫 cpw 3514  {cpr 3532   cuni 3743  cc 7641  cr 7642  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-un 4362  ax-cnex 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-pnf 7825  df-xr 7827
This theorem is referenced by:  pnfex  7842  pnfnemnf  7843  xnn0xr  9068  xrltnr  9595  ltpnf  9596  mnfltpnf  9600  pnfnlt  9602  pnfge  9604  xrlttri3  9612  nltpnft  9626  xgepnf  9628  xrrebnd  9631  xrre  9632  xrre2  9633  xnegcl  9644  xaddf  9656  xaddval  9657  xaddpnf1  9658  xaddpnf2  9659  pnfaddmnf  9662  mnfaddpnf  9663  xrex  9668  xaddass2  9682  xltadd1  9688  xlt2add  9692  xsubge0  9693  xposdif  9694  xleaddadd  9699  elioc2  9748  elico2  9749  elicc2  9750  ioomax  9760  iccmax  9761  ioopos  9762  elioopnf  9779  elicopnf  9781  unirnioo  9785  elxrge0  9790  hashinfom  10555  rexico  11024  xrmaxiflemcl  11045  xrmaxadd  11061  xblpnfps  12604  xblpnf  12605  xblss2ps  12610  blssec  12644  blpnfctr  12645  reopnap  12744  blssioo  12751
  Copyright terms: Public domain W3C validator