Theorem pnfxr 8385

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8369	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8310	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4585	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4322	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3817	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3245	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8371	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ∪ cuni 3935  ℂcc 8184  ℝcr 8185  +∞cpnf 8364  -∞cmnf 8365  ℝ^*cxr 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8369  df-xr 8371

This theorem is used by:  pnfex  8386  pnfnemnf  8387  xnn0xr  9645  xrltnr  10198  ltpnf  10199  mnfltpnf  10204  pnfnlt  10206  pnfge  10208  xrlttri3  10216  xnn0dcle  10221  nltpnft  10233  xgepnf  10235  xrrebnd  10238  xrre  10239  xrre2  10240  xnegcl  10251  xaddf  10263  xaddval  10264  xaddpnf1  10265  xaddpnf2  10266  pnfaddmnf  10269  mnfaddpnf  10270  xrex  10275  xaddass2  10289  xltadd1  10295  xlt2add  10299  xsubge0  10300  xposdif  10301  xleaddadd  10306  elioc2  10355  elico2  10356  elicc2  10357  ioomax  10367  iccmax  10368  ioopos  10369  elioopnf  10386  elicopnf  10388  unirnioo  10392  elxrge0  10397  dfrp2  10715  elicore  10718  xqltnle  10719  hashinfom  11239  rexico  12010  xrmaxiflemcl  12036  xrmaxadd  12052  fprodge0  12429  fprodge1  12431  pcxcl  13119  pc2dvds  13138  pcadd  13148  xblpnfps  15657  xblpnf  15658  xblss2ps  15663  blssec  15697  blpnfctr  15698  reopnap  15805  blssioo  15812  repiecelem  17313  repiecele0  17314  repiecege0  17315