Theorem pnfxr 8385

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8369	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8310	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4585	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4322	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3817	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3245	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8371	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ∪ cuni 3935  ℂcc 8184  ℝcr 8185  +∞cpnf 8364  -∞cmnf 8365  ℝ^*cxr 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8369  df-xr 8371

This theorem is used by:  pnfex  8386  pnfnemnf  8387  xnn0xr  9647  xrltnr  10199  ltpnf  10200  mnfltpnf  10205  pnfnlt  10207  pnfge  10209  xrlttri3  10217  xnn0dcle  10222  nltpnft  10234  xgepnf  10236  xrrebnd  10239  xrre  10240  xrre2  10241  xnegcl  10252  xaddf  10264  xaddval  10265  xaddpnf1  10266  xaddpnf2  10267  pnfaddmnf  10270  mnfaddpnf  10271  xrex  10276  xaddass2  10290  xltadd1  10296  xlt2add  10300  xsubge0  10301  xposdif  10302  xleaddadd  10307  elioc2  10356  elico2  10357  elicc2  10358  ioomax  10368  iccmax  10369  ioopos  10370  elioopnf  10387  elicopnf  10389  unirnioo  10393  elxrge0  10398  dfrp2  10716  elicore  10719  xqltnle  10720  hashinfom  11240  rexico  12011  xrmaxiflemcl  12037  xrmaxadd  12053  fprodge0  12430  fprodge1  12432  pcxcl  13120  pc2dvds  13139  pcadd  13149  xblpnfps  15636  xblpnf  15637  xblss2ps  15642  blssec  15676  blpnfctr  15677  reopnap  15784  blssioo  15791  repiecelem  17292  repiecele0  17293  repiecege0  17294