Theorem pnfxr 8096

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3328	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8080	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8020	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4473	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4217	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2269	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3729	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3181	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8082	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2272	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  𝒫 cpw 3606  {cpr 3624  ∪ cuni 3840  ℂcc 7894  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076  ℝ^*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  pnfex  8097  pnfnemnf  8098  xnn0xr  9334  xrltnr  9871  ltpnf  9872  mnfltpnf  9877  pnfnlt  9879  pnfge  9881  xrlttri3  9889  xnn0dcle  9894  nltpnft  9906  xgepnf  9908  xrrebnd  9911  xrre  9912  xrre2  9913  xnegcl  9924  xaddf  9936  xaddval  9937  xaddpnf1  9938  xaddpnf2  9939  pnfaddmnf  9942  mnfaddpnf  9943  xrex  9948  xaddass2  9962  xltadd1  9968  xlt2add  9972  xsubge0  9973  xposdif  9974  xleaddadd  9979  elioc2  10028  elico2  10029  elicc2  10030  ioomax  10040  iccmax  10041  ioopos  10042  elioopnf  10059  elicopnf  10061  unirnioo  10065  elxrge0  10070  dfrp2  10370  elicore  10373  xqltnle  10374  hashinfom  10887  rexico  11403  xrmaxiflemcl  11427  xrmaxadd  11443  fprodge0  11819  fprodge1  11821  pcxcl  12505  pc2dvds  12524  pcadd  12534  xblpnfps  14718  xblpnf  14719  xblss2ps  14724  blssec  14758  blpnfctr  14759  reopnap  14866  blssioo  14873