ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr GIF version

Theorem pnfxr 7519
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3162 . . 3 {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2 df-pnf 7503 . . . . 5 +∞ = 𝒫
3 cnex 7445 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
43uniex 4255 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54pwex 4009 . . . . 5 𝒫 ℂ ∈ V
62, 5eqeltri 2160 . . . 4 +∞ ∈ V
76prid1 3543 . . 3 +∞ ∈ {+∞, -∞}
81, 7sselii 3020 . 2 +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9 df-xr 7505 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
108, 9eleqtrri 2163 1 +∞ ∈ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  𝒫 cpw 3425  {cpr 3442   cuni 3648  cc 7327  cr 7328  +∞cpnf 7498  -∞cmnf 7499  *cxr 7500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-un 4251  ax-cnex 7415
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-pnf 7503  df-xr 7505
This theorem is referenced by:  pnfex  7520  pnfnemnf  7521  xnn0xr  8711  xrltnr  9219  ltpnf  9220  mnfltpnf  9224  pnfnlt  9226  pnfge  9228  xrlttri3  9236  nltpnft  9248  xrrebnd  9250  xrre  9251  xrre2  9252  xnegcl  9263  xrex  9274  elioc2  9323  elico2  9324  elicc2  9325  ioomax  9335  iccmax  9336  ioopos  9337  elioopnf  9354  elicopnf  9356  unirnioo  9360  elxrge0  9365  hashinfom  10151  rexico  10619
  Copyright terms: Public domain W3C validator