Theorem pnfxr 8098

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3328	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8082	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8022	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4473	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4217	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2269	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3729	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3181	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8084	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2272	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  𝒫 cpw 3606  {cpr 3624  ∪ cuni 3840  ℂcc 7896  ℝcr 7897  +∞cpnf 8077  -∞cmnf 8078  ℝ^*cxr 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8082  df-xr 8084

This theorem is referenced by:  pnfex  8099  pnfnemnf  8100  xnn0xr  9336  xrltnr  9873  ltpnf  9874  mnfltpnf  9879  pnfnlt  9881  pnfge  9883  xrlttri3  9891  xnn0dcle  9896  nltpnft  9908  xgepnf  9910  xrrebnd  9913  xrre  9914  xrre2  9915  xnegcl  9926  xaddf  9938  xaddval  9939  xaddpnf1  9940  xaddpnf2  9941  pnfaddmnf  9944  mnfaddpnf  9945  xrex  9950  xaddass2  9964  xltadd1  9970  xlt2add  9974  xsubge0  9975  xposdif  9976  xleaddadd  9981  elioc2  10030  elico2  10031  elicc2  10032  ioomax  10042  iccmax  10043  ioopos  10044  elioopnf  10061  elicopnf  10063  unirnioo  10067  elxrge0  10072  dfrp2  10372  elicore  10375  xqltnle  10376  hashinfom  10889  rexico  11405  xrmaxiflemcl  11429  xrmaxadd  11445  fprodge0  11821  fprodge1  11823  pcxcl  12507  pc2dvds  12526  pcadd  12536  xblpnfps  14742  xblpnf  14743  xblss2ps  14748  blssec  14782  blpnfctr  14783  reopnap  14890  blssioo  14897