Theorem pnfxr 7972

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3291	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 7956	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 7898	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4422	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4169	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2243	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3689	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3144	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 7958	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2246	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  𝒫 cpw 3566  {cpr 3584  ∪ cuni 3796  ℂcc 7772  ℝcr 7773  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  pnfex  7973  pnfnemnf  7974  xnn0xr  9203  xrltnr  9736  ltpnf  9737  mnfltpnf  9742  pnfnlt  9744  pnfge  9746  xrlttri3  9754  xnn0dcle  9759  nltpnft  9771  xgepnf  9773  xrrebnd  9776  xrre  9777  xrre2  9778  xnegcl  9789  xaddf  9801  xaddval  9802  xaddpnf1  9803  xaddpnf2  9804  pnfaddmnf  9807  mnfaddpnf  9808  xrex  9813  xaddass2  9827  xltadd1  9833  xlt2add  9837  xsubge0  9838  xposdif  9839  xleaddadd  9844  elioc2  9893  elico2  9894  elicc2  9895  ioomax  9905  iccmax  9906  ioopos  9907  elioopnf  9924  elicopnf  9926  unirnioo  9930  elxrge0  9935  dfrp2  10220  elicore  10223  hashinfom  10712  rexico  11185  xrmaxiflemcl  11208  xrmaxadd  11224  fprodge0  11600  fprodge1  11602  pcxcl  12265  pc2dvds  12283  pcadd  12293  xblpnfps  13192  xblpnf  13193  xblss2ps  13198  blssec  13232  blpnfctr  13233  reopnap  13332  blssioo  13339