Theorem pnfxr 8378

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8362	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8303	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4583	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4320	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3817	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3245	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8364	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ∪ cuni 3935  ℂcc 8177  ℝcr 8178  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-xr 8364

This theorem is used by:  pnfex  8379  pnfnemnf  8380  xnn0xr  9637  xrltnr  10183  ltpnf  10184  mnfltpnf  10189  pnfnlt  10191  pnfge  10193  xrlttri3  10201  xnn0dcle  10206  nltpnft  10218  xgepnf  10220  xrrebnd  10223  xrre  10224  xrre2  10225  xnegcl  10236  xaddf  10248  xaddval  10249  xaddpnf1  10250  xaddpnf2  10251  pnfaddmnf  10254  mnfaddpnf  10255  xrex  10260  xaddass2  10274  xltadd1  10280  xlt2add  10284  xsubge0  10285  xposdif  10286  xleaddadd  10291  elioc2  10340  elico2  10341  elicc2  10342  ioomax  10352  iccmax  10353  ioopos  10354  elioopnf  10371  elicopnf  10373  unirnioo  10377  elxrge0  10382  dfrp2  10700  elicore  10703  xqltnle  10704  hashinfom  11219  rexico  11989  xrmaxiflemcl  12013  xrmaxadd  12029  fprodge0  12406  fprodge1  12408  pcxcl  13092  pc2dvds  13111  pcadd  13121  xblpnfps  15501  xblpnf  15502  xblss2ps  15507  blssec  15541  blpnfctr  15542  reopnap  15649  blssioo  15656  repiecelem  17086  repiecele0  17087  repiecege0  17088