Theorem pnfxr 8187

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3368	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8171	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8111	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4525	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4266	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2302	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3772	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3221	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8173	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2305	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  𝒫 cpw 3649  {cpr 3667  ∪ cuni 3887  ℂcc 7985  ℝcr 7986  +∞cpnf 8166  -∞cmnf 8167  ℝ^*cxr 8168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-un 4521  ax-cnex 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-pnf 8171  df-xr 8173

This theorem is referenced by:  pnfex  8188  pnfnemnf  8189  xnn0xr  9425  xrltnr  9963  ltpnf  9964  mnfltpnf  9969  pnfnlt  9971  pnfge  9973  xrlttri3  9981  xnn0dcle  9986  nltpnft  9998  xgepnf  10000  xrrebnd  10003  xrre  10004  xrre2  10005  xnegcl  10016  xaddf  10028  xaddval  10029  xaddpnf1  10030  xaddpnf2  10031  pnfaddmnf  10034  mnfaddpnf  10035  xrex  10040  xaddass2  10054  xltadd1  10060  xlt2add  10064  xsubge0  10065  xposdif  10066  xleaddadd  10071  elioc2  10120  elico2  10121  elicc2  10122  ioomax  10132  iccmax  10133  ioopos  10134  elioopnf  10151  elicopnf  10153  unirnioo  10157  elxrge0  10162  dfrp2  10470  elicore  10473  xqltnle  10474  hashinfom  10987  rexico  11718  xrmaxiflemcl  11742  xrmaxadd  11758  fprodge0  12134  fprodge1  12136  pcxcl  12820  pc2dvds  12839  pcadd  12849  xblpnfps  15057  xblpnf  15058  xblss2ps  15063  blssec  15097  blpnfctr  15098  reopnap  15205  blssioo  15212