Theorem pnfxr 8372

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8356	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8297	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4581	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4318	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3816	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3245	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8358	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3709  ∪ cuni 3933  ℂcc 8171  ℝcr 8172  +∞cpnf 8351  -∞cmnf 8352  ℝ^*cxr 8353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-un 4576  ax-cnex 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-pnf 8356  df-xr 8358

This theorem is referenced by:  pnfex  8373  pnfnemnf  8374  xnn0xr  9618  xrltnr  10164  ltpnf  10165  mnfltpnf  10170  pnfnlt  10172  pnfge  10174  xrlttri3  10182  xnn0dcle  10187  nltpnft  10199  xgepnf  10201  xrrebnd  10204  xrre  10205  xrre2  10206  xnegcl  10217  xaddf  10229  xaddval  10230  xaddpnf1  10231  xaddpnf2  10232  pnfaddmnf  10235  mnfaddpnf  10236  xrex  10241  xaddass2  10255  xltadd1  10261  xlt2add  10265  xsubge0  10266  xposdif  10267  xleaddadd  10272  elioc2  10321  elico2  10322  elicc2  10323  ioomax  10333  iccmax  10334  ioopos  10335  elioopnf  10352  elicopnf  10354  unirnioo  10358  elxrge0  10363  dfrp2  10681  elicore  10684  xqltnle  10685  hashinfom  11200  rexico  11970  xrmaxiflemcl  11994  xrmaxadd  12010  fprodge0  12387  fprodge1  12389  pcxcl  13073  pc2dvds  13092  pcadd  13102  xblpnfps  15482  xblpnf  15483  xblss2ps  15488  blssec  15522  blpnfctr  15523  reopnap  15630  blssioo  15637  repiecelem  17048  repiecele0  17049  repiecege0  17050