Theorem pnfxr 8275

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3373	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 8259	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 8199	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4540	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4279	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3781	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3225	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 8261	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2307	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199  𝒫 cpw 3656  {cpr 3674  ∪ cuni 3898  ℂcc 8073  ℝcr 8074  +∞cpnf 8254  -∞cmnf 8255  ℝ^*cxr 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8259  df-xr 8261

This theorem is referenced by:  pnfex  8276  pnfnemnf  8277  xnn0xr  9513  xrltnr  10057  ltpnf  10058  mnfltpnf  10063  pnfnlt  10065  pnfge  10067  xrlttri3  10075  xnn0dcle  10080  nltpnft  10092  xgepnf  10094  xrrebnd  10097  xrre  10098  xrre2  10099  xnegcl  10110  xaddf  10122  xaddval  10123  xaddpnf1  10124  xaddpnf2  10125  pnfaddmnf  10128  mnfaddpnf  10129  xrex  10134  xaddass2  10148  xltadd1  10154  xlt2add  10158  xsubge0  10159  xposdif  10160  xleaddadd  10165  elioc2  10214  elico2  10215  elicc2  10216  ioomax  10226  iccmax  10227  ioopos  10228  elioopnf  10245  elicopnf  10247  unirnioo  10251  elxrge0  10256  dfrp2  10567  elicore  10570  xqltnle  10571  hashinfom  11084  rexico  11842  xrmaxiflemcl  11866  xrmaxadd  11882  fprodge0  12259  fprodge1  12261  pcxcl  12945  pc2dvds  12964  pcadd  12974  xblpnfps  15189  xblpnf  15190  xblss2ps  15195  blssec  15229  blpnfctr  15230  reopnap  15337  blssioo  15344  repiecelem  16737  repiecele0  16738  repiecege0  16739