Theorem blex 14707

Description: A ball is a set. Also see blfn 14183 in case you just know 𝐷 is a set, not 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem blex

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 14706	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
2		xmetrel 14663	. . . 4 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5593	. . . 4 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		xrex 9948	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
6		mpoexga 6279	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   class class class wbr 4034  dom cdm 4664  Rel wrel 4669  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078  ∞Metcxmet 14168  ballcbl 14170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-bl 14178

This theorem is referenced by:  blbas  14753  metrest  14826  xmettxlem  14829  xmettx  14830  tgioo  14874