Theorem blex 15082

Description: A ball is a set. Also see blfn 14536 in case you just know 𝐷 is a set, not 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem blex

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 15081	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
2		xmetrel 15038	. . . 4 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5664	. . . 4 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		xrex 10069	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
6		mpoexga 6369	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799   class class class wbr 4083  dom cdm 4720  Rel wrel 4725  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ∈ cmpo 6012  ℝ^*cxr 8196   < clt 8197  ∞Metcxmet 14521  ballcbl 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-bl 14531

This theorem is referenced by:  blbas  15128  metrest  15201  xmettxlem  15204  xmettx  15205  tgioo  15249