Theorem blex 15026

Description: A ball is a set. Also see blfn 14480 in case you just know 𝐷 is a set, not 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem blex

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 15025	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
2		xmetrel 14982	. . . 4 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5635	. . . 4 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		xrex 10020	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
6		mpoexga 6328	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2286	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180  {crab 2492  Vcvv 2779   class class class wbr 4062  dom cdm 4696  Rel wrel 4701  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976  ℝ^*cxr 8148   < clt 8149  ∞Metcxmet 14465  ballcbl 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-psmet 14472  df-xmet 14473  df-bl 14475

This theorem is referenced by:  blbas  15072  metrest  15145  xmettxlem  15148  xmettx  15149  tgioo  15193