Theorem blex 12556

Description: A ball is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem blex

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 12555	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
2		xmetrel 12512	. . . 4 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5453	. . . 4 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 420	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		xrex 9639	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
6		mpoexga 6110	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 409	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2216	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  {crab 2420  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  Rel wrel 4544  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800  ∞Metcxmet 12149  ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  blbas  12602  metrest  12675  xmettxlem  12678  xmettx  12679  tgioo  12715