Theorem blex 15140

Description: A ball is a set. Also see blfn 14589 in case you just know 𝐷 is a set, not 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Proof of Theorem blex

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 15139	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
2		xmetrel 15096	. . . 4 ⊢ Rel ∞Met
3		relelfvdm 5674	. . . 4 ⊢ ((Rel ∞Met ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
5		xrex 10096	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
6		mpoexga 6382	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2307	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  {crab 2513  Vcvv 2801   class class class wbr 4089  dom cdm 4727  Rel wrel 4732  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   ∈ cmpo 6025  ℝ^*cxr 8218   < clt 8219  ∞Metcxmet 14574  ballcbl 14576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-psmet 14581  df-xmet 14582  df-bl 14584

This theorem is referenced by:  blbas  15186  metrest  15259  xmettxlem  15262  xmettx  15263  tgioo  15307