Theorem mnfxr 8346

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8327	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 8343	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 4301	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2307	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3803	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3391	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 8328	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2310	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212  𝒫 cpw 3674  {cpr 3695  ℝcr 8142  +∞cpnf 8321  -∞cmnf 8322  ℝ^*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-un 4559  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  elxr  10131  xrltnr  10134  mnflt  10138  mnfltpnf  10140  nltmnf  10143  mnfle  10147  xrltnsym  10148  xrlttri3  10152  ngtmnft  10172  xrrebnd  10174  xrre2  10176  xrre3  10177  ge0gtmnf  10178  xnegcl  10187  xltnegi  10190  xaddf  10199  xaddval  10200  xaddmnf1  10203  xaddmnf2  10204  pnfaddmnf  10205  mnfaddpnf  10206  xrex  10211  xltadd1  10231  xlt2add  10235  xsubge0  10236  xposdif  10237  xleaddadd  10242  elioc2  10291  elico2  10292  elicc2  10293  ioomax  10303  iccmax  10304  elioomnf  10323  unirnioo  10328  xrmaxadd  11974  reopnap  15540  blssioo  15547  tgioo  15548  repiecelem  16948  repiecele0  16949  repiecege0  16950