Theorem mnfxr 8335

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8316	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 8332	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 4298	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2307	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3800	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3389	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 8317	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2310	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3211  𝒫 cpw 3671  {cpr 3692  ℝcr 8131  +∞cpnf 8310  -∞cmnf 8311  ℝ^*cxr 8312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-un 4556  ax-cnex 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317

This theorem is referenced by:  elxr  10115  xrltnr  10118  mnflt  10122  mnfltpnf  10124  nltmnf  10127  mnfle  10131  xrltnsym  10132  xrlttri3  10136  ngtmnft  10156  xrrebnd  10158  xrre2  10160  xrre3  10161  ge0gtmnf  10162  xnegcl  10171  xltnegi  10174  xaddf  10183  xaddval  10184  xaddmnf1  10187  xaddmnf2  10188  pnfaddmnf  10189  mnfaddpnf  10190  xrex  10195  xltadd1  10215  xlt2add  10219  xsubge0  10220  xposdif  10221  xleaddadd  10226  elioc2  10275  elico2  10276  elicc2  10277  ioomax  10287  iccmax  10288  elioomnf  10307  unirnioo  10312  xrmaxadd  11954  reopnap  15460  blssioo  15467  tgioo  15468  repiecelem  16858  repiecele0  16859  repiecege0  16860