ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr GIF version

Theorem mnfxr 7829
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 7810 . . . . 5 -∞ = 𝒫 +∞
2 pnfex 7826 . . . . . 6 +∞ ∈ V
32pwex 4107 . . . . 5 𝒫 +∞ ∈ V
41, 3eqeltri 2212 . . . 4 -∞ ∈ V
54prid2 3630 . . 3 -∞ ∈ {+∞, -∞}
6 elun2 3244 . . 3 (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
75, 6ax-mp 5 . 2 -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8 df-xr 7811 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
97, 8eleqtrri 2215 1 -∞ ∈ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1480  Vcvv 2686  cun 3069  𝒫 cpw 3510  {cpr 3528  cr 7626  +∞cpnf 7804  -∞cmnf 7805  *cxr 7806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-cnex 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811
This theorem is referenced by:  elxr  9570  xrltnr  9573  mnflt  9576  mnfltpnf  9578  nltmnf  9581  mnfle  9585  xrltnsym  9586  xrlttri3  9590  ngtmnft  9607  xrrebnd  9609  xrre2  9611  xrre3  9612  ge0gtmnf  9613  xnegcl  9622  xltnegi  9625  xaddf  9634  xaddval  9635  xaddmnf1  9638  xaddmnf2  9639  pnfaddmnf  9640  mnfaddpnf  9641  xrex  9646  xltadd1  9666  xlt2add  9670  xsubge0  9671  xposdif  9672  xleaddadd  9677  elioc2  9726  elico2  9727  elicc2  9728  ioomax  9738  iccmax  9739  elioomnf  9758  unirnioo  9763  xrmaxadd  11037  reopnap  12717  blssioo  12724  tgioo  12725
  Copyright terms: Public domain W3C validator