Theorem mnfxr 8241

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8222	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 8238	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 4275	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2303	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3779	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3374	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 8223	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2306	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∪ cun 3197  𝒫 cpw 3653  {cpr 3671  ℝcr 8036  +∞cpnf 8216  -∞cmnf 8217  ℝ^*cxr 8218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-un 4532  ax-cnex 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-uni 3895  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223

This theorem is referenced by:  elxr  10016  xrltnr  10019  mnflt  10023  mnfltpnf  10025  nltmnf  10028  mnfle  10032  xrltnsym  10033  xrlttri3  10037  ngtmnft  10057  xrrebnd  10059  xrre2  10061  xrre3  10062  ge0gtmnf  10063  xnegcl  10072  xltnegi  10075  xaddf  10084  xaddval  10085  xaddmnf1  10088  xaddmnf2  10089  pnfaddmnf  10090  mnfaddpnf  10091  xrex  10096  xltadd1  10116  xlt2add  10120  xsubge0  10121  xposdif  10122  xleaddadd  10127  elioc2  10176  elico2  10177  elicc2  10178  ioomax  10188  iccmax  10189  elioomnf  10208  unirnioo  10213  xrmaxadd  11844  reopnap  15299  blssioo  15306  tgioo  15307  repiecelem  16696  repiecele0  16697  repiecege0  16698