Theorem mnfxr 7605

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 7586	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 7602	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 4024	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2161	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3553	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3169	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 7587	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2164	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1439  Vcvv 2620   ∪ cun 2998  𝒫 cpw 3433  {cpr 3451  ℝcr 7410  +∞cpnf 7580  -∞cmnf 7581  ℝ^*cxr 7582

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-un 4269  ax-cnex 7497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-uni 3660  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587

This theorem is referenced by:  elxr  9308  xrltnr  9311  mnflt  9314  mnfltpnf  9316  nltmnf  9319  mnfle  9323  xrltnsym  9324  xrlttri3  9328  ngtmnft  9341  xrrebnd  9342  xrre2  9344  xrre3  9345  ge0gtmnf  9346  xnegcl  9355  xltnegi  9358  xrex  9366  elioc2  9415  elico2  9416  elicc2  9417  ioomax  9427  iccmax  9428  elioomnf  9447  unirnioo  9452