ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr GIF version

Theorem mnfxr 7523
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 7504 . . . . 5 -∞ = 𝒫 +∞
2 pnfex 7520 . . . . . 6 +∞ ∈ V
32pwex 4009 . . . . 5 𝒫 +∞ ∈ V
41, 3eqeltri 2160 . . . 4 -∞ ∈ V
54prid2 3544 . . 3 -∞ ∈ {+∞, -∞}
6 elun2 3166 . . 3 (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
75, 6ax-mp 7 . 2 -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8 df-xr 7505 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
97, 8eleqtrri 2163 1 -∞ ∈ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  𝒫 cpw 3425  {cpr 3442  cr 7328  +∞cpnf 7498  -∞cmnf 7499  *cxr 7500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-un 4251  ax-cnex 7415
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505
This theorem is referenced by:  elxr  9216  xrltnr  9219  mnflt  9222  mnfltpnf  9224  nltmnf  9227  mnfle  9231  xrltnsym  9232  xrlttri3  9236  ngtmnft  9249  xrrebnd  9250  xrre2  9252  xrre3  9253  ge0gtmnf  9254  xnegcl  9263  xltnegi  9266  xrex  9274  elioc2  9323  elico2  9324  elicc2  9325  ioomax  9335  iccmax  9336  elioomnf  9355  unirnioo  9360
  Copyright terms: Public domain W3C validator