Theorem mnfxr 8376

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8357	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 8373	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 4318	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3817	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3397	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 8358	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {cpr 3709  ℝcr 8172  +∞cpnf 8351  -∞cmnf 8352  ℝ^*cxr 8353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-un 4576  ax-cnex 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358

This theorem is referenced by:  elxr  10161  xrltnr  10164  mnflt  10168  mnfltpnf  10170  nltmnf  10173  mnfle  10177  xrltnsym  10178  xrlttri3  10182  ngtmnft  10202  xrrebnd  10204  xrre2  10206  xrre3  10207  ge0gtmnf  10208  xnegcl  10217  xltnegi  10220  xaddf  10229  xaddval  10230  xaddmnf1  10233  xaddmnf2  10234  pnfaddmnf  10235  mnfaddpnf  10236  xrex  10241  xltadd1  10261  xlt2add  10265  xsubge0  10266  xposdif  10267  xleaddadd  10272  elioc2  10321  elico2  10322  elicc2  10323  ioomax  10333  iccmax  10334  elioomnf  10353  unirnioo  10358  xrmaxadd  12010  reopnap  15630  blssioo  15637  tgioo  15638  repiecelem  17048  repiecele0  17049  repiecege0  17050