Theorem 2idlridld 21554

Description: A two-sided ideal is a right ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlridld.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlridld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem 2idlridld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		2idlridld.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	2idlval 21550	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
7	1, 6	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
8	7	elin2d 4102	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089  ‘cfv 6539  opp_rcoppr 20572  LIdealclidl 21490  2Idealc2idl 21548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-2idl 21549

This theorem is used by:  qsdrng  34068