Theorem 2idlridld 21405

Description: A two-sided ideal is a right ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlridld.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlridld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem 2idlridld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		2idlridld.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	2idlval 21401	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
7	1, 6	eleqtrdi 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
8	7	elin2d 4157	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903  ‘cfv 6536  opp_rcoppr 20425  LIdealclidl 21341  2Idealc2idl 21399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-2idl 21400

This theorem is used by:  qsdrng  33788