Theorem 2idllidld 21556

Description: A two-sided ideal is a left ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
2idllidld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem 2idllidld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	2idlval 21553	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
7	1, 6	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	7	elin1d 4100	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088  ‘cfv 6543  opp_rcoppr 20575  LIdealclidl 21493  2Idealc2idl 21551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-2idl 21552

This theorem is used by:  2idl1el  21558  df2idl2  21560  2idlss  21565  qusmul2idl  21583  rng2idl1cntr  21610  qsnzr  21648  rsp2idlid  33981  opprqusmulr  34065  opprqus1r  34066  opprqusdrng  34067  qsdrnglem2  34070  qsdrng  34071  isidom3  49578